Respuesta corta: (en general) no se puede.
Respuesta larga: campos vectoriales puede ser empujado hacia adelante y formas diferenciales tiró hacia atrás. Dada una incrustación de un colector en otra: $f: \Sigma \to M$, puede asignar campos vectoriales en $\Sigma$ a campos vectoriales en (la imagen de $\Sigma$) $M$ utilizando el diferencial de mapa.
$$ df(p) : T_p\Sigma \to T_{f(p)}M $$
y puede asignar una de las formas en $M$ a de una de las formas en $\Sigma$
$$ f^*(p): T_{f(p)}^*M \to T_p^*\Sigma $$
por $(f^*\omega)(v) = \omega(df(v))$.
Así que, dado que la inclusión del mapa de $\iota: \mathbb{S}^3\to \mathbb{R}^4$ usted no puede canónicamente mapa de campos vectoriales en $\mathbb{R}^4$$\mathbb{S}^3$.
Sin embargo, hay maneras de conseguir alrededor de este problema.
- Desde $f$ es una incrustación, tenemos que $df$ es inyectiva, y por lo tanto un bijection entre el $T_p\Sigma$ y su imagen. Así que si usted tiene un a priori un campo de vectores $v$ que vive en la imagen de $T_p\Sigma$ bajo el mapa de $df$, por supuesto, usted puede "restringir" a $T_p\Sigma$. (Lineal mapa que es inyectiva pero no surjective no es invertible en general, pero puede ser invertida si restringe el codominio a su imagen). Este es precisamente el caso específico en tu pregunta.
- Otro caso donde se puede hacer tal cosa es cuando se tiene una estructura de Riemann en $\Sigma$$M$, e $f$ es un isométrico de la incrustación. A continuación, puede aprovechar la ahora canónicas de identificación entre la tangente y la cotangente vectores para que "tire" de un campo vectorial. Este es de hecho equivalente a la primera toma de la proyección ortogonal de un vector de campo en $M$ el (la imagen de) el espacio de la tangente $T\Sigma$ el uso de la métrica de Riemann y, a continuación, utilizando el punto 1 anterior.
De modo que por tu pregunta específica:
La fijación de un punto de $p$, en la mayoría de los una de $x_1, x_2, x_3, x_4$ es degenerado, por lo que el resto puede formar un sistema de coordenadas en un barrio de $p$. Asumir que son $x_1, x_2, x_3$. El mapa es
$$ (x_1, x_2, x_3) \mapsto (x_1,x_2,x_3, \sqrt{1 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2})$$
por lo que el diferencial es
$$ d\iota(x_1,x_2,x_3): \sum y^i \partial_i \mapsto \sum_1^3 y^i\partial_i - \frac{\sum_1^3 y^ix_i}{\sqrt{1 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2}}\partial_4 $$
lo que implica que la imagen de la diferencial mapa es precisamente el subespacio de $T\mathbb{R}^4$ que está en el núcleo de $\sum_{i = 1}^4x_i dx_i$. Desde $(x_4, -x_3, x_2, -x_1)$ satisface esta condición, a lo largo de los puntos en la imagen de $\mathbb{S}^3$ puede ser escrito como la imagen de un campo de vectores en $\mathbb{S}^3$ bajo la inclusión del mapa.
