Inducida por Homomorphisms en grupo Fundamental y primer grupo de homología de ocho en el toro

Question

Deje $i:S^1 \vee S^1 \rightarrow S^1 \times S^1$ ser la inclusión de la figura de ocho en el toro. Podemos considerar los siguientes inducida por homomorphisms:

$i_\star :\pi_1 (S^1 \vee S^1) \rightarrow \pi_1 (S^1 \times S^1)$

$j_\star: H_1(S^1 \vee S^1) \rightarrow H_1 (S^1 \times S^1)$

Que, si queremos calcular el uso del Teorema de Van Kampen estos son sólo:

$i_\star :{\text{free group on two generators}} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $

y ya sabemos $H_1$ es el abelianization de $\pi_1$ también tenemos

$j_\star: {\text{free abelian group on two generators}} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $

Desde $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ ya está abelian.

Ahora, mi pregunta es, ¿qué más puedo decir acerca de la homomorphisms $i_\star$$j_\star$ ? Todo lo que sé es que $i_\star$ no es inyectiva, ya que si $a$ $b$ son los generadores de la libre grupo, a continuación, $i_\star (ab)=i_\star (a) i_\star (b)=i_\star (b) i_\star (a)=i_\star (ba)$ donde la segunda igualdad se sigue del hecho de que $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ es abelian, sino $ab\neq ba$, por lo que el mapa no puede ser inyectiva. No sé nada más. Hay una manera de describir explícitamente los inducida por homomorphisms? Si, así es esta en los géneros posible? Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Estoy suponiendo que la inclusión es a lo largo de la habitual CW descomposición del toro: un solo $0$-célula, dos $1$-de las células, y una sola $2$-célula. Por el teorema de van Kampen, uno puede demostrar que el grupo fundamental de un espacio puede ser obtenido desde el grupo fundamental de la $1$-esqueleto, modulo de las relaciones dadas por la colocación de los mapas de la $2$-células (esto es en el capítulo 1 de Hatcher). Por eso, $i_*$ es en realidad un surjection en $\pi_1(S^1\times S^1)$, teniendo los dos generadores de $\pi_1(S^1\vee S^1)$ a los generadores independientes de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$. Si $a,b$ son los generadores, el kernel es normal en el subgrupo generado por a $aba^{-1}b^{-1}$.

El abelianization es functorial y derecho exacta, por lo $j_*$ debe ser surjective, demasiado. De inyectividad se deduce del hecho de que el núcleo de $\mathbb{Z}^2\to \mathbb{Z}^2$ es libre y, por tanto,$0$, de lo contrario $\mathbb{Z}^2$ tendría el rango de menos de $2$ o han de torsión.

También se puede descender hasta el nivel de los ciclos y ver que cada una de las $1$-ciclo de trabajo en $S^1\times S^1$ es una suma de ciclos incluidos por $i$, lo $j_*$ es surjective. No estoy seguro de si hay una mejor argumento para la inyectividad de la de arriba (la única surjective $\mathbb{Z}^2\to\mathbb{Z}^2$ es inyectiva).