Si $f( \log_2 x)-f( \log_3 x) \le \log_5 x$ entonces $ \log_5 \left ( \frac {3}{2} \right ) \int_0 ^1 f(x)dx \le 2$

Question

Deje que $f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ser una función que es continua en $x_0=0$ y Riemann integrable en $[0,1]$ . Si $f(0)=0$ y $f( \log_2 x)-f( \log_3 x) \le \log_5 x, \forall x>0$ probar que $ \log_5 \left ( \frac {3}{2} \right ) \cdot \int_0 ^1 f(x)dx \le 2$ .

Bueno, una idea es integrar la desigualdad dada entre 1 y 2, pero un cambio de variable nos dará algo bueno sólo para $ \int_1 ^2 f ( \log_2 x) dx$ y no por $ \int_1 ^2 f( \log_3 x)dx$ . Entonces, ¡esta idea fracasa!

Otra forma en la que intenté es denotar $ \log_2 5=a$ y $ \log_3 5 =b$ . Ahora, pon $x=5^t$ en la desigualdad dada y obtener $f(ta)-f(tb) \le t \forall t \in \mathbb {R}$ . La conclusión es: $ \left ( \frac {1}{b}- \frac {1}{a} \right ) \int_0 ^1 f(x)dx \le 2$ .

Pero no sé cómo usar la desigualdad de la hipótesis. Se puede escribir de esta forma: $f(t) \le \frac {t}{a} -f \left ( t \frac {b}{a} \right ), \forall t \in \mathbb {R}$ pero, nada. ¿Alguien puede ayudarme, por favor? Gracias.

Answer 1

Si $a>b>0$ y $$ f(ta)-f(tb) \leq t $$ para cualquier $t \in\mathbb {R}$ entonces lo hemos hecho: $$ f(t) \leq\frac {t}{a}+f \left (t \frac {b}{a} \right ) \leq\frac {t}{a}+ \frac {bt}{a^2}+f \left (t \frac {b^2}{a^2} \right ) \leq\ldots\leq\frac {t}{a-b}+f(0)= \frac {t}{a-b} $$ de la continuidad de $f$ en cero y desde $f(0)=0$ . Al integrar la desigualdad anterior sobre $[0,1]$ con las opciones $a= \log_2 5,b= \log_3 5$ que tenemos: $$ \int_ {0}^{1}f(t)\,dt \leq \frac {1}{2(a-b)} = \frac {1}{2( \log_2 5- \log_3 5)}= \frac { \log 2 \log 3}{2 \log 5( \log 3- \log 2)}=0.58346 \ldots $$ que es mucho mejor que la desigualdad requerida para probar.