Dejemos que $\{ X_1,X_2,...,X_n \}$ sean n observaciones extraídas aleatoriamente de una distribución normal con media $10$ y la varianza desconocida. Demuestre que el estimador $1/n \sum_{i} (X_i -10)^2$ es imparcial. ¿Por qué este estimador es insesgado? ¿No hemos demostrado que sólo $1/(n-1) \sum_{i} (X_i -10)^2$ ¿es imparcial?
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Bauna
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Si $X_i \sim \mathcal N(10, \sigma^2)$ entonces $Y_i := X_i - 10 \sim \mathcal N(0, \sigma^2)$ . Así, $$\mathbb E[(X_i - 10)^2] = \mathbb E[Y_i^2] = \mathrm{Var}(Y_i) + \mathbb E[ Y_i]^2 = \sigma^2,$$ así que por linealidad de la expectativa $$\mathbb E\left[\frac1N \sum_{i=1}^N (X_i - 10)^2\right] = \frac1N \sum_{i=1}^N \sigma^2 = \sigma^2.$$
Como conoces la media, no tienes que hacer la corrección de Bessel de dividir por $N-1$ y, de hecho, eso sesgaría su estimador.
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No, has demostrado que $\frac{1}{n-1}\sum_i (X_i-\bar{x})^2$ es imparcial. $\bar{x}$ está más cerca de los datos que $\mu$ es, por lo que hay que dividir por una cantidad menor
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Es claramente una estadística no sesgada para el parámetro de población $E((1/n)\sum (X_i-10)^2)$ . No preguntaron si era un estimador insesgado de $\sigma^2$ . Por otro lado, no es un estimador insesgado de muchos otros parámetros, por ejemplo, $\sigma$ , curtosis, etc. :)