Si lo desea, puede razón de que es porque hay tres posibilidades para el triplete, pero sólo uno de la camiseta. La mecánica cuántica tiene que dividir el triplete autovalor entre tres vectores propios, mientras que la camiseta autovalor pertenece en su totalidad a la camiseta vector propio.
¿Por qué creo que las cosas pueden ser confusos
Cuando dices que "las matemáticas son claras" supongo que te refieres a la siguiente argumento estándar: considere el $\|\vec\sigma_1 + \vec\sigma_2\|^2 = \|\vec\sigma_1\|^2 + 2~ \vec \sigma_1\cdot\vec\sigma_2 + \|\vec\sigma_2\|^2$, sabemos que $\sigma^2$ autovalores ir como $\hbar^2 \ell(\ell + 1)$, de modo que debemos esperar:$$\langle \vec \sigma_1\cdot\vec\sigma_2\rangle = \frac{\hbar^2}{2}\Big(s_{12}(s_{12} + 1) -s_1(s_1 + 1) - s_2(s_2 + 1)\Big),$$and using that both of the $s_{1,2}$ are $1/2$ da
$$\langle \vec \sigma_1\cdot\vec\sigma_2\rangle = \hbar^2\Big(\frac{s_{12}(s_{12} + 1)}2 - \frac34\Big),$$
así que vemos o bien $1 - 3/4 = +1/4$ o $0 - 3/4 = -3/4$ para estos dos. Es que sobre la derecha? Entonces sí, sin duda, puedo ver por qué esta expresión parece venir de la nada!
Ahora estamos pensando con portales de matrices
Una forma alternativa de entender esto es mirar en la representación de la matriz; el uso de las matrices de Pauli y el producto de Kronecker, este producto escalar es simplemente$$\begin{align}\sigma_x\otimes\sigma_x &+ \sigma_y\otimes\sigma_y + \sigma_z\otimes\sigma_z \\&= \begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}.\end{align}$$where the superposition $un|\uparrow\uparrow\rangle + b|\uparrow\downarrow\rangle + c |\downarrow\uparrow\rangle + d|\downarrow\downarrow\rangle$ becomes the column vector $[a~~b~~c~~d]^T$. And probably you can diagonalize this in your sleep and see the four eigenvalues $1, 1, 1, -3,$ with the four eigenvectors $|\uparrow\uparrow\rangle,~~|\downarrow\downarrow\rangle,~~|\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle,~~|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle.$ In addition I can give you a more intuitive feel for this middle term, which is that if $|\rightarrow\rangle = \sqrt{1/2}\big( |\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle\big)$ in our coordinates then $|\rightarrow \rightarrow\rangle,$ which is obviously "spin-1", must be a superposition of these "obviously spin-1" $|\uparrow\uparrow\rangle,~~|\downarrow\downarrow\rangle$ más que a medio plazo, de forma que a medio plazo ser mejor "obviamente spin-1", también.
Así el triplete/singlete degeneración viene de muy bajo nivel de las reglas de la mecánica cuántica dice que cuando una partícula es totalmente "spin-up" que significa que es la mitad de "spin-izquierda" y a la mitad de "giro a derecha" y mitad "spin-forwards" y mitad "spin-hacia atrás", debido a su total al cuadrado del momento angular $\hbar^2~\ell(\ell + 1)$ es mayor que su momento angular en su dirección principal $\hbar~m.$ Aparte de decir que una superposición de electrones de spin-up y spin-abajo nos da todas las indicaciones en la esfera, esto también viene a decir que el cuatro de dos electrones superposiciones tiene 3 estados en los que los espines alineados, y un estado en el que los espines se oponen. Yo no puede conseguir mucho más fundamental que en estos spin operadores ya que ellos son una especie de intrínsecamente difícil de visualizar de manera concreta, que es parte de por qué QM es duro!
Tracería como la magia
Bueno, ahora vamos a volver a mi intención de respuesta: este antiparalela-spin "estado singlete" es 3 veces más fuerte en autovalor que el paralelo estados de spin. Usted, evidentemente, puede ver esto por ti mismo, pero me dijo que eso es porque usted tiene para difundir el autovalor de manera uniforme entre los tres en paralelo estados de spin; ¿qué diablos significa eso?
Bien algo así como el 80% de la mecánica cuántica es el álgebra lineal en sombreros divertidos y así que ahora voy a invitar a usted a recordar este concepto de seguimiento de álgebra lineal, donde hemos descubierto que el seguimiento ha linealidad y cíclico permutivity las leyes; por lo tanto es el mismo para todos similares matrices: y por lo tanto, sorprendentemente, la traza es la suma de los autovalores. Desde un autovector de un producto de Kronecker $A\otimes B$ va a ser un vector $|\lambda_A,\lambda_B\rangle$ va a obtener todos los emparejamientos, así que en realidad el seguimiento de $A \otimes B$ va a ser la huella de $A$ los tiempos de la traza de $B$.
Así las matrices de Pauli son todos de seguimiento libre, y eso es una simple consecuencia de la paridad de simetría en nuestro mundo, la suposición de que las cosas no girar más en cualquier dimensión que ellos hacen en la dirección opuesta, de modo que los valores propios de a $\pm \lambda$ pares. Como resultado de todas estas matrices $\sigma_i\otimes\sigma_i$ son de traza libre también, y de modo que su suma $\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2$ también se debe trazar.
Ahora, ¿cuál es el seguimiento? Aquí se trata de una suma de $$\operatorname{Tr} X=\langle \uparrow\uparrow|X|\uparrow\uparrow\rangle + \langle \uparrow\downarrow|X|\uparrow\downarrow\rangle + \langle \downarrow\uparrow|X|\downarrow\uparrow\rangle + \langle \downarrow\downarrow|X|\downarrow\downarrow\rangle,$$, que si se divide por 4, es sólo el valor esperado de "voy a voltear 2 monedas y elegir arbitrariamente el giro de configuración por ese mecanismo, la mermelada y el sistema en que la correspondiente tirada de configuración."
El tracefree aspecto de esta $\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2$ operador está realmente diciendo, "esta modificación a la Hamiltoniana debe, en promedio, desaparecen cuando realizamos que elegir-el-spin-configuración-en-procedimiento aleatorio", y puedes ver que tiene para hacerlo, este es el tipo de término que no tiene una direccionalidad. Pero el hecho de que la traza es la base de medios independientes que ahora puede llevar este razonamiento a la camiseta/triplete caso: "si he de elegir uno de estos 4 configuraciones al azar, debo recuperar, en promedio, sólo la energía del nivel: sin embargo, esto perturba que la energía, se tiene que el promedio."
Y en ese sentido, los 3 niveles que ver un aumento en la energía $+\epsilon$ debe corresponder con la que tenga una disminución de energía $-3\epsilon$, por lo que si usted elige un giro de configuración al azar, se obtiene un promedio de cambio de energía de 0.
