Calcula

Question

Calcular %#% $ #%

Estoy buscando algunas pruebas agradables en este problema. Una idea sería utilizar la expansión de Taylor y luego integrando término por término. ¿Qué podemos hacer? Gracias.

Answer 1

Esta respuesta es de mi viejo de cálculo.

En primer lugar, asumir que somos bien conscientes de la famosa resultado.

$$\zeta(2) =\frac{\pi^{2}}{6}, \quad \zeta(4) =\frac{\pi^{4}}{90}$$

Siguiente, por un simple cálculo obtenemos

$$ H_{n} := \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} =\int_{0}^{1}\frac{1-t^{n}}{1-t}\, dt. $$

y

$$ \frac{\log (1-x)}{1-x}\ =\ -\sum_{n=1}^{\infty}H_{n}x^{n}. $$

Por último, definir el polylogarithm como

$$ \mathrm{Li}_{s}(x) :=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^s}, $$

por lo que se satisface la relación de recurrencia

$$ \mathrm{Li}_{1}(x) =-\log (1-x) , \quad \mathrm{Li}_{s+1}(x) =\int_{0}^{x}\frac{\mathrm{Li}_{s}(t)}{t}\, dt $$

y la identidad

$$ \mathrm{Li}_{s}(1) =\zeta(s). $$

El todo-en-uno recto de cálculo es como sigue:

\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{\log x\log^{2}(1-x)}{x}\, dx & = \int_{0}^{1}\frac{\log (1-x)\log^{2}x}{1-x}\, dx = -\sum_{n=1}^{\infty}H_{n}\int_{0}^{1}x^{n}\log^{2}x\, dx\\ & = -2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{(n+1)^{3}}\\ & = 2\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{(n+1)^{4}}-\frac{H_{n+1}}{(n+1)^{3}}\right] = 2\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{(n+1)^{4}}-\frac{H_{n+1}}{(n+1)^{3}}\right]\\ & = 2\zeta(4)-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{n^{3}}\\ & = 2\zeta(4)-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}\int_{0}^{1}\frac{1-t^{n}}{1-t}\, dt = 2\zeta(4)-2\int_{0}^{1}\frac{\zeta(3)-\mathrm{Li}_{3}(t)}{1-t}\, dt\\ & = 2\zeta(4)+\left[2 (\zeta(3)-\mathrm{Li}_{3}(t))\log (1-t)\right]_{0}^{1}+2\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{Li}_{2}(t)\log (1-t)}{t}\, dt\\ & = 2\zeta(4)-2\int_{0}^{1}\mathrm{Li}_{2}(t)\frac{d\mathrm{Li}_{2}(t)}{dt}\, dt\\ & = 2\zeta(4)-\left[\mathrm{Li}_{2}^{2}(t)\right]_{0}^{1} = 2\zeta(4)-\zeta(2)^{2} = \frac{\pi^{4}}{45}-\frac{\pi^{4}}{36} = -\frac{\pi^{4}}{180}\\ & = -\frac{1}{2}\zeta(4). \end{align*}

Answer 2

El enfoque de expansión de Taylor le $-2 \sum_{k=1}^\infty H_k/(k+1)^3$ donde $H_k = \sum_{n=1}^k 1/n$. Wolfram Alpha dice esto es $-\pi^4/180$, pero no sé cómo es.

Answer 3

Hermana de @Chri: ver aquí http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=296&t=353720&p=1921474&hilit=Borwein#p1921474