Sobre el espacio métrico compacto

Question

Que $(E,d)$ un espacio métrico. Supongamos que existe $r>0$ tal que $\overline{B(x,r)}$ es compacto para cada $x\in E$. Que $A\subset E$ compacto. Demostrar que el conjunto de $$ \lbrace x\in E: d(x,A)\leq s\rbrace$ $

es compacto para cada $s<r$.

¿Alguien tiene una idea? Probé que $(E,d)$ es completa, pero no sé si es realmente necesario. Si alguien me puede ayudar realmente lo agradeceria.

Answer 1

La forma más sencilla puede ser la utilización de la equivalencia de compacidad y compacidad secuencial de las métricas de los espacios. Por lo que necesita para mostrar que, para $0 < s < r$, el conjunto de

$$A(s) = \{ x\in E : d(x,A) \leqslant s\}$$

es secuencialmente compacto. Por lo tanto, vamos a $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una secuencia en $A(s)$. Para todos los $n$, elija una de las $y_n \in A$$d(x_n,y_n) < \frac{r+s}{2}$. Puesto que, por hipótesis de $A$ es compacto, $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tiene un convergentes larga. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $y_n \to y_\ast \in A$. Elegir un $n_0 \in \mathbb{N}$, de modo que $d(y_n,y_\ast) < \frac{r-s}{2}$ todos los $n \geqslant n_0$. Luego tenemos a $d(x_n,y_\ast) \leqslant d(x_n,y_n) + d(y_n,y_\ast) < \frac{r+s}{2} + \frac{r-s}{2} = r$$n\geqslant n_0$. Desde $\overline{B(y_\ast,r)}$ es compacto por supuesto, podemos concluir que $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tiene un convergentes larga. Desde $A(s)$ es cerrado, su límite se encuentra en $A(s)$, de ahí vimos que $A(s)$ es secuencialmente compacto.