Introducción a la deformación de la teoría de álgebras)?

Question

Así que yo sé que la idea de la deformación de la teoría que subyace en el concepto de los grupos cuánticos; no he encontrado ninguna sola introducción a los grupos cuánticos que me hace plenamente convencida de que tengo algún tipo de idea de qué es, pero que juntando lo que he leído, entiendo que la idea es "deformar" un grupo (Hopf) álgebra a uno que no es tan agradable, pero todavía es muy viable.

En cierta medida, me pongo lo que implica "deformación"; la idea es tomar algunas relaciones de definir nuestra álgebra de Hopf y la introducción de un nuevo parámetro, que se especializa para el caso clásico en un punto determinado. Lo que no entiendo es:

1. Cómo y cuando podemos hacer esto y han sentido todavía;

2. Por qué esto debería "obviamente" ser una construcción que vale la pena mirar, y por qué debe ser útil y significativo.

El problema es que cuando busco cosas (en el catálogo de la biblioteca, en Internet) sobre la deformación de la teoría, todo lo que hace es muy técnica y supone una cierta familiaridad con las definiciones básicas y las intuiciones sobre el tema. ¿Alguien sabe de una más básica que puede ser entendido por la "matemática general de la audiencia" y respuestas (1) y (2)?

Answer 1

[Gerstenhaber, Murray; Schack, Samuel D. Algebraicas cohomology y la deformación de la teoría. La deformación de la teoría de álgebras y estructuras y aplicaciones (Il Ciocco, 1986), 11--264, la OTAN Adv. de la lesión. Inst. La Ser. C Matemáticas. Phys. Sci., 247, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1988. MR0981619 (90c:16016)] es una muy buena introducción al tema. Gerstenhaber papeles (la serie se llama En la deformación de los anillos y álgebras) es muy legible.

En cuanto a por qué debe uno esperar de deformación para producir algo interesante... una vez le pregunté esto a Jacques Alev, y él observó que el interés de las cosas realmente interesantes deberían sobrevivir a pequeñas deformaciones.

Answer 2

En respuesta a tu último párrafo, un buen punto de partida para la deformación de la teoría, no específicamente de los grupos cuánticos, es la primera orden de la deformación de la teoría de álgebras asociativas. Buenas referencias de este han sido mencionados por Mariano (Gerstenhaber los papeles) y Kevin Lin (Kontsevich de notas), pero quería añadir que, incluso antes de la apertura de ellos, hay algunos gratamente ejercicios simples que usted puede hacer para obtener una idea del tema. Trate de extender asociativa $k$-lineal del producto en $A$ $t$- lineal en $A\otimes (k[t]/t^2)$ y ver que lo que usted necesita es un Hochschild 2-cocycle (definición en álgebra homológica libros, e.g Weibel); y que las extensiones que se vuelven triviales después de un cambio de variable son los coboundaries. Si usted insiste en unital productos, obtendrá cocycles para la reducción de Hochschild complejo; si imponer conmutatividad verás Harrison cocycles.

Uno más de referencia: un papel de Goldman-Millson (enlace requiere el SEÑOR de suscripción), que readably explica el DGLA filosofía de char cero deformación de la teoría.

Answer 3

Me gusta "por Qué las Deformaciones son Cohomological" por M Anel

Answer 4

Sé casi nada sobre los grupos cuánticos, pero sin embargo creo que la primera cosa es darse cuenta de que la "deformación" puede ser tomado como un simple sinónimo de "familia". Si usted está interesado en los módulos de problemas, entonces usted está interesado en las familias, y por lo tanto las deformaciones. Como por qué estarían interesados en módulos de problemas... hay muchas razones, así que tal vez usted puede preguntar acerca de que en una pregunta diferente :-)

1. Hay un proyecto de un libro sobre la teoría de la deformación por Kontsevich-Soibelman. Está disponible aquí. Hay también estas notas de un viejo curso de la deformación de la teoría de que Kontsevich enseñó cuando era en Berkeley, en 1994. Todo esto es mucho en una vena similar a la de las referencias que Mariano ha citado. Este material es un poco más "moderno" y no es exactamente el mismo que la deformación de la teoría de la geometría algebraica, aunque comparten muchas características. Para la deformación de la teoría de la geometría algebraica, trate de tomar un vistazo a "Módulos de Curvas" por Harris-Morrison, "las Deformaciones Algebraico de los Esquemas de" por Sernesi, o estas notas de Hartshorne.

2. Una de las motivaciones para mirar deformaciones proviene de la física, véase, por ejemplo, Kontsevich famoso artículo sobre la deformación de la cuantización de Poisson colectores. Otra motivación, que como ya he dicho, es módulos de teoría. Incluso si usted está interesado en la desazón y no deformaciones/familias/módulos de desazón, que todavía puede ser útil para el estudio de deformaciones/familias/módulos de desazón. Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en algún objeto X. Si X tiene un espacio de moduli de deformaciones, entonces podemos estudiar cómo X cambios, o cómo en una propiedad de X cambios, como nos movemos en el espacio de moduli. Esto puede ser tomado como un invariante de X en sí mismo. Si X es un buen proyectiva de la variedad y de la propiedad que estamos viendo es la estructura de Hodge de X, entonces esto conduce a una bella teoría de la variación de la estructura de Hodge, que fue desarrollado por Griffiths y otros. Por último, las deformaciones pueden ser interesantes en su propio derecho: que a veces tienen muy ricas y complejas estructuras matemáticas (que conduce, por ejemplo, las aplicaciones de nudo de la teoría en el caso de los grupos cuánticos) que no podemos ver si hemos visto que no deforma los objetos. Esto probablemente no es "obvio", pero que probablemente en gran parte por qué es tan impresionante.

Answer 5

Usted puede tratar de La insoportable levedad de la deformación de la teoría por Balázs Szendrői.