La función Gamma es una generalización del factorial definido por Euler como: $$\Gamma(z)=\int\limits_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt$$ para $z\in\mathbb{C}$ con parte real positiva.
Se satisface, $\Gamma(n)=(n-1)!$ para todos $n\in\mathbb{N}$ .
Mi pregunta es por qué elegimos esta función en particular de entre todas las funciones que satisfacen la propiedad anterior. Y, ¿cómo se deduce la función Gamma?
Es la única función que satisface:
Ver Teorema de Bohr-Mollerup .
El $\Gamma$ surge de forma natural cuando se trabaja con Transformación de Mellin (otro nombre para la transformada de Fourier en el grupo $\mathbb{R}_{>0}$ ) : si $f : \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{C}$ es una función (adecuada) entonces su transformada de Mellin es $$\mathcal{M}(f,s) = \int_0^\infty f(t) t^s \frac{dt}{t}.$$ Dejemos que $f(z) = \sum_{n=1}^\infty a_n e^{-nt}$ sea una "serie de Fourier" (con $a_n =O(n^C)$ ), entonces su transformada de Mellin es $$\mathcal{M}(f,s) = \sum_{n \geq 1} a_n \left( \int_0^\infty t^n e^{-t} \frac{dt}{t} \right) n^{-s}.$$ Por lo tanto, si se define $\Gamma(t) := \int_0^\infty t^n e^{-t} \frac{dt}{t}=\mathcal{M}(\exp,s)$ y $L(f,s)$ la serie de Dirichlet $L(f,s):=\sum_{n \geq 1} a_n n^{-s}$ se obtiene la bonita fórmula $$\mathcal{M}(f,s) = \Gamma(s) L(f,s).$$ Esta identidad es el punto clave para obtener la ecuación funcional del Función Zeta o el $L$ -función de formas modulares .
Desde un punto de vista práctico, el argumento de la convexidad es (imo) bastante poco natural. Lo que hace que la función Gamma sea realmente importante y adecuada para las aplicaciones no es que coincida con el factorial en puntos enteros positivos, sino su relación de tipo factorial $\Gamma(1+z)=z\Gamma(z)$ que es válida para cualquier $z\in\mathbb{C}$ .
Cualquier otra función "gamma" con esta propiedad se diferenciaría de la estándar por una función periódica de $z$ . Ahora bien, si esta función periódica no es constante, la función gamma alternativa tendrá más ceros y polos que la estándar $\Gamma(z)$ para el que este conjunto es, en cierto modo, mínimo.
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