Axiomatization de $\mathbb{Z}$

Question

Aunque he visto varios fresco axiomizations de $\mathbb{R}$, nunca he visto ninguna en absoluto para $\mathbb{Z}$.

Mi primera suposición era que $\mathbb{Z}$ sería un anillo de pedida que es "débil" bien ordenados en el sentido de que cualquier subconjunto con un límite inferior tiene un mínimo elemento.

Sin embargo, después de ver esta definición de un discreto anillo de pedida, no estoy tan seguro. Hice que se adivina bajo la impresión de que la característica fundamental de $\mathbb{Z}$ es que todo elemento distinto de cero tiene exactamente una representación de la forma $\pm (1+1+\dots+1)$, pero que parece ser compartida por todos los DOR.

Presumiblemente, esta definición no existiría si cada instancia de la era isomorfo a $\mathbb{Z}$, por lo que alguien puede darme un ejemplo de otro discretos ordenó anillo? Más al punto, lo que es suficiente con que la caracterización de $\mathbb{Z}$? (y una prueba de dibujo de la singularidad sería bueno)

Soy consciente de que $\mathbb{Z}$ es bastante fácilmente construibles de $\mathbb{N}$, pero quiero usar esto para un seminario y dado que la audiencia estoy esperando, prefiero no tratar con Peano. (Y supongo que se siente como hacer trampa para decir "$\mathbb{N}$ es una orden de equipo")

Answer 1

Cualquier ordenó anillo R, cuyos positivos P son bien ordenados en R es isomorfo a $\mathbb Z$ como un ordenado anillo. La prueba es fácil. Sugerencia: $ $ la imagen natural de $\,\mathbb Z\,$ R es un orden mononomorphism, por lo que permanece para mostrar que está en. Si no, R tiene un elemento positivo $\rm\:w\not\in \mathbb Z.\:$ $\rm w$ no es infinito $\rm (w\! >\! n,\, \forall\, n\in\mathbb N)\,$ else $\rm\,w > w\!-\!1 > w\!-\!2,\ldots\,$ es un infinito descendente de la cadena en P, contra P bien ordenada. Por lo tanto, $\rm\:w\:$ debe estar entre dos naturals $\rm\:n < w < n\!+\!1,\:$ por lo tanto $\rm\ 0 < \epsilon < 1\:$ $\rm\:\epsilon = w\!-\!n,\:$ por lo tanto $\rm\: \epsilon > \epsilon^2 > \epsilon^3 > \ldots\,$ es un infinito descendente de la cadena en P, $ $ contra P es bien ordenado. $ $ QED

Pide otro ejemplo de un discreto anillo de pedida. El fin de el anillo de $\rm\,\mathbb Z[x]\,$ de entero coeficiente de polinomios declarando $\rm\:f > 0\:$ fib ha líder coeficiente de $> 0,\,$ es decir, iff $\rm\:f\:$ es positivo en $+\infty,$ $\rm\:f > g\:$ fib $\rm\,f\!-\!g > 0.\:$ Aquí, como en el anterior, $\rm\:x > x\!-\!1 > x\!-\!2 > \ldots\, $, por lo que sus aspectos positivos no están bien ordenadas.

Answer 2

De segundo orden cuantificación nos permite hablar acerca de las propiedades de los subconjuntos del anillo, como el axioma de completitud de los números reales (que es también una de segundo orden, instrucción).

Podemos unen a los habituales de la teoría de ordenada de los anillos el siguiente axioma:

$$\forall A(A\neq\varnothing\land\exists x\forall a(a\in A\rightarrow x<a)\rightarrow\exists y(y\in A\land\forall x(x\in A\rightarrow y\leq x)))$$

Decir que, para no vaciar cada set $A$, si hay un límite inferior para $A$ $A$ tiene un mínimo elemento.

También podemos seguir Zhen Lin sugerencia en los comentarios. Observe que $\mathbb Z$ es el único libre de aditivos grupo que sólo tiene un generador. Que es: $$\exists x(x\neq 0\land\forall A(x\in A\land\forall a\forall b(a\in A\land b\in A\rightarrow a+b\in A)\land\forall a(a\in A\rightarrow -a\in A)\rightarrow\forall y(y\in A)$$

Este es un muy complicada manera de decir que existe cierta $x$, lo que es distinto de cero y cada una de las $A$ que $x$ es un elemento, y $A$ es cerrado bajo la suma y la negación implica que $A$ lo es todo.

En $\mathbb Z$ esto es cierto porque las $x=1$. Sin embargo esto no es cierto para cualquier otro anillo de pedida.

Answer 3

Cualquier ultrapower de $\mathbb{Z}$ será un discreto anillo de pedida.

Answer 4

Cuando usted habla de isomorfismo debe indicar la estructura. Si consideras $\mathbb{Z}$ con el único de la estructura de orden, la declaración de

"la característica fundamental de $\mathbb{Z}$ es que todo elemento distinto de cero tiene exactamente una representación de la forma ±(1+1+⋯+1)"

no es cierto. $\mathbb{N}$ también tiene esta propiedad. Sin embargo, si usted agregue a su propiedad por encima que en el lineal de ordenar cada elemento tiene un elemento más pequeño de lo que, entonces creo que usted consigue $(\mathbb{Z}, <)$. La idea es hacer que definir una relación de equivalencia basada en la propiedad anterior y demostrar que cualquier lineal del orden de estas propiedades tiene una sola clase de equivalencia y de cada clase de equivalencia es isomorfo a $\mathbb{Z}$ lineal de orden.

También no creo que el "débil" bien ordenada de la propiedad usted se indicó anteriormente única caracteriza el lineal de pedidos $\mathbb{Z}$. Si $W$ es cualquier conjunto ordenado, $\omega^* + W$ donde $\omega^*$ es el retroceso $\mathbb{N}$, también tienen lo que se llama la "débilmente" bien ordenado de la propiedad.