Existe una generalización de los espacios vectoriales llamados "módulos" que permiten que cualquier anillo sirva como escalares. Cuando se utilizan los números enteros como anillo de escalares, un "módulo" es lo mismo que un "grupo abeliano".
El grupo de "factorizaciones" es, en efecto, un grupo abeliano libre, que es el tipo de grupo abeliano que se comporta de manera más similar a un espacio vectorial.
Las factorizaciones son de hecho importantes en la teoría de los números. Más generalmente, en lugar de las racionalidades que se podrían considerar campos de número o incluso campos globales . Entonces considerarías cosas como ideales primos o lugares en lugar de números primos.
Formalmente, tomar logaritmos como tú es algo superfluo - lo que estás haciendo es principalmente cambiar la notación de la operación de grupo a $+$ para que sea más fácil pensar en ello en términos de álgebra lineal.
En efecto, puede ser útil extenderse a los coeficientes reales en lugar de los coeficientes meramente enteros. Por ejemplo, después de restringirse a un conjunto finito de primos, a los teóricos de los números les gusta ver el grupo de factorizaciones como una red contenida en el espacio vectorial correspondiente $ \mathbb {R}^n$ y usar métodos geométricos para estudiar las cosas.
La norma más natural para tomar aquí es un peso $L^1$ norma
$$ \left\ | \sum_ {n=0}^{ \infty } a_n \log p_n \right\ | = \sum_ {n=0}^{ \infty } |a_n| \ln p_n $$
De esta manera, la norma de la factorización de un entero es precisamente el logaritmo natural de la magnitud de ese entero. Más generalmente, si $a$ y $b$ son números enteros no cero relativamente primos, entonces la norma de la factorización de $a/b$ es simplemente $ \ln |a/b|$ .
