Cardenales inefables y punto crítico de incrustaciones elementales

Question

Un cardenal $\kappa$ es un inefable si y sólo si para todas las secuencias $\langle A_\alpha : \alpha < \kappa\rangle$ tal que $A_\alpha \subseteq \alpha$ para todos $\alpha < \kappa$ entonces existe $A \subseteq \kappa$ tal que $\{\alpha < \kappa : A \cap \alpha = A_\alpha\}$ es estacionario en $\kappa$ .

Supongamos $M$ y $N$ son modelos transitivos de $\text{ZFC}$ , $\mathcal{P}^M(\kappa) = \mathcal{P}^N(\kappa)$ y $j : M \rightarrow N$ es una incrustación elemental no trivial y $\kappa = \text{crit}(j)$ . El lema 17.32 de Jech afirma que $\kappa$ es un cardinal inefable en $M$ .

Jech toma $\langle A_\alpha : \alpha < \kappa\rangle$ sea cualquier secuencia como la anterior. $j(\langle A_\alpha : \alpha < \kappa\rangle) = \langle A_\alpha : \alpha < j(\kappa)\rangle$ para algunos $A_\alpha \subseteq \alpha$ cuando $\kappa \leq \alpha < j(\kappa)$ . $A_\kappa \in M$ por el supuesto. Afirma que $A_\kappa$ es tal que $\{\alpha < \kappa : A_\kappa \cap \alpha = A_\alpha\}$ es estacionario en $\kappa$ . No puedo ver por qué este conjunto debe ser estacionaria.

Answer 1

Dejemos que $B = \{ \alpha < \kappa : A_\kappa \cap \alpha = A_\alpha \}$ .

Supongamos que $C \in M$ es un subconjunto de clubes de $\kappa$ . Queremos demostrar que $C \cap B \neq \varnothing$ . De ello se deduce que $j(C)$ es un subconjunto de clubes de $j(\kappa)$ y también que $j(B) = \{ \alpha < j(\kappa) : j(A_\kappa) \cap \alpha = A_\alpha \}$ . Ahora fíjate en dos cosas:

1. $\kappa \in j(C)$ ;
2. $j(A_\kappa) \cap \kappa = A_\kappa$ .

Así $\kappa \in j(C) \cap j(B)$ que significa $j(C) \cap j(B) \neq \varnothing$ y así por elementalidad $C \cap B \neq \varnothing$ .