Deje $X$ ser un espacio topológico. $U\subset X$ abierto.
$\mathfrak{B}(U) = \{f:U\to \mathbb{R}| f \textrm{ continuous and bounded}\}$ es un presheaf.
Me gustaría ver la sheafification de este presheaf. Yo tengo una solución desde mi tutorial pero no entiendo todos los pasos:
$\mathfrak{B}^g(U):= \{(f_x)\in\prod\limits_{x\in U}\mathfrak{B}_x| \forall x\in U, \exists W\subset U, x\in W, g\in \mathfrak{B}(W) \textrm{ s.t. }\forall w\in W: g_W = f_W\}$.
$\mathfrak{B}_x = \{f_x:U_x\to\mathbb{R}|U_x\textrm{ ''small enough'' s.t. } f_x\textrm{ continuous and bounded}\}$.
Pero si $U_x$ es, por ejemplo, la preimagen de $B_\epsilon(f(x))$ $f:U\to \mathbb{R}$ $f_x$ es limitada y, por tanto,$\mathfrak{B}_x=\{f_x:U_x\to\mathbb{R}| f_x \textrm{ continuous}\}$.
(No entiendo lo que quería decir con esta parte, y además no estoy seguro si yo escribí $B$ correctamente o si debería ser $\mathfrak{B}$. Definimos $B_\epsilon(0)=\{x\in\mathbb{R}: |x|<\epsilon\}$ en la prueba que demuestre que el $\mathfrak{B}$ no es una gavilla.)
Ahora elija $W=U_x$$x\in U$. Por lo $g=f_x$ y por lo tanto $g_w=f_w$ $\forall w\in W\Rightarrow \mathfrak{B}^g(U)=\{f:U\to\mathbb{R}| f \textrm{ continuous}\}$.
Yo sería muy feliz si alguien me podría ayudar a entender este ejemplo. Tal vez usted también tiene una mejor explanaition de la sheafification?
Gracias y saludos, Luca
Respuestas
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El sheafification de su presheaf $\mathfrak{B}$ es la gavilla $\mathcal C$ de funciones continuas en $X$.
Este es inmediata una vez que te das cuenta de que cada continuas $U\to \mathbb R$ es localmente acotada.
Edit: un par de palabras acerca de sheafification en general
Dado un presheaf $\mathcal F$ sobre un espacio topológico $X$, que se asocia a una gavilla $\mathcal F^+$, su sheafification.
La construcción es un poco opaco para un principiante, involucrando a las familias de los gérmenes de las secciones abiertas de subconjuntos de a $U\subset X$.
Si, sin embargo, por un golpe de suerte, $\mathcal F\subset \mathcal G$ de alguna manera pasa a ser un subpresheaf de una gavilla $\mathcal G$, sheafification de $\mathcal F$ es muy fácil: sólo lo define $$\mathcal F^+(U)=\{g\in \mathcal G(U)|g \; \text {is locally in} \; \mathcal F\}$$ the last condition meaning that there exists a covering $(U_i)$ of $U$ (depending on $g$ !) such that $g|U_i\in \mathcal F(U_i)\subconjunto \mathcal G(U_i)$.
Así que mi (demasiado) respuesta concisa significa que se debe aplicar esto a $\mathcal F=\mathfrak{B}$$\mathcal G=\mathcal C$.
Y ahora las buenas noticias: esta construcción funciona realmente para todos presheaves $\mathcal F$.
El truco es la construcción de un enorme fajo $\mathcal G$ en la que se incorporan una arbitraria presheaf $\mathcal F$.
Bien, acaba de tomar $\mathcal G(U)=\prod_{x\in U} \mathcal F_x$ con las obvias restricciones.
La inclusión es, por supuesto, da por $$ \mathcal F(U)\hookrightarrow \mathcal G(U)=\prod_{x\in U} \mathcal F_x: s\mapsto (s_x)_{x\in U}$$
Y esta es la explicación de la receta, al parecer sacado de la nada, todo el mundo da por sheafifying un presheaf.
Creo que estás usando $\mathfrak{B}^g$ a la media de la sheafification de $\mathfrak{B}$? Voy a asumir.
Hay un evidente de morfismos $\mathfrak{B} \to \mathcal{C}$ de la presheaf de limitada funciones continuas a la gavilla de funciones continuas. Estos factores de forma exclusiva en $\mathfrak{B} \to \mathfrak{B}^g \to \mathcal{C}$, donde el primer mapa es el canónica de ruta para la sheafification.
El objetivo de esta prueba es conocer estos morfismos mediante la comprensión de cómo se ve en los tallos de las poleas.
El punto clave es que sheafification induce isomorphisms en todos los tallos. Y además, una de morfismos de poleas es un isomorfismo si y sólo si se induce un isomorfismo en todos los tallos.
Por lo tanto, si se demuestra que $\mathfrak{B} \to \mathcal{C}$ induce isomorphisms en los tallos de estas presheaves, podemos concluir que $\mathcal{C}$ es un sheafification de $\mathfrak{B}$.
La idea clave para administrar esta prueba es la propiedad definitoria de la continuidad: si $f$ es continua en a $x$, usted puede asegurarse de que $f(y)$ es lo más cercano a $f(x)$ como quiera restringir $y$ a un barrio adecuado de $x$.
