Sustitución trigonométrica VS Sustitución hiperbólica

Question

Las siguientes tablas fueron tomadas de la página de la Universidad de Pennsylvania sobre Cálculo:

Sustitución trigonométrica

Sustitución hiperbólica

Como se puede ver, las formas $1+x^2$ y $x^2-1$ se repiten en las tablas. ¿Cómo se sabe cuándo es más adecuada una sustitución trigonométrica que una hiperbólica y viceversa?

Answer 1

Esta es una gran pregunta. También agregaría otra opción: Sustitución de Euler (que tiene varios subtipos dependiendo de los parámetros en el término de la raíz cuadrada).

En la mayoría de los casos, si uno funciona, entonces los tres funcionarán. Más generalmente, si estás realizando una integral de la forma $$ \int R(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}) dx, $$ donde $R(x,y)$ es una función racional de $x$ e $y$ (lo que significa que es un polinomio en $x$ e $y$ dividido por otro polinomio en $x$ e $y), entonces las tres técnicas funcionarán genéricamente. Combinar completar el cuadrado, descomposición en fracciones parciales e integración por partes permite que esto se formule de manera más formal.

Hay un problema en la práctica, sin embargo. Reducir un problema al punto donde necesitamos realizar descomposiciones en fracciones parciales es genial para la numeración, pero puede ser malo para soluciones exactas ya que podemos necesitar descomponer un polinomio cuyos factores no conocemos formas exactas. (Pero sabemos que la descomposición en fracciones parciales existe).

Eso se está alejando de tu pregunta, sin embargo. Una buena regla de inicio es siempre usar trig en lugar de trigonometría hiperbólica, ya que es probable que seas más familiar con integrales racionales de funciones trigonométricas.

Algunos instructores de cálculo mencionan que si una sustitución trigonométrica produce la integración de una potencia de $\sec x$ [que a menudo les resulta difícil a los estudiantes porque a menudo caen en la categoría "tricky" de doble integración por partes], puedes en su lugar hacer una sustitución trigonométrica hiperbólica y (a menudo) obtener una integral "más fácil". Es desafiante en realidad decir que es "más fácil", ya que hay un algoritmo estricto para manejar integrales de potencias de $\sec x$ y para productos más generales de funciones trigonométricas. Entonces, ¿realmente es más fácil evitarlo?

Una vez escribí una publicación en el blog sobre sustitución trigonométrica versus sustitución trigonométrica hiperbólica versus sustitución de Euler. Realizo una integral usando las tres técnicas para ver cómo se sienten diferentes y hablo un poco sobre la motivación. Si tuviera que resumir todo en una sola heurística, es que debería haber aproximadamente una "Conservación de la Dificultad" entre estas técnicas.

Answer 2

En mi opinión, las siguientes sustituciones son suficientes:

aparece en integrando

sustitución

convención

1

$\sqrt{x^2+1}$

$x=\sinh\theta$

$\theta\in\mathbb R$

2

$\sqrt{x^2-1}$

$x=\pm\cosh\theta$

$\theta\geq0$

3

$\sqrt{1-x^2}$

$x=\sin\theta$

$-\frac{\pi}2\leq\theta\leq\frac{\pi}2$

$\sinh$ y $\cosh$ son mejores sustituciones que $\tan$ y $\sec,$ respectivamente, ya que son más fáciles de diferenciar e integrar, y tienen dominios principales más bonitos. $\sin$ es una mejor sustitución que $\tanh$ ya que es más fácil de diferenciar e integrar. Los siguientes ejemplos ilustran esto:

integrande

sustitución

resultado

1

$\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}}$

$x=2\sinh\theta\quad\color{green}$

$4\int\sinh^2\theta\,\mathrm d\theta$

$\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}}$

$x=2\tan\theta\quad\color{red}$

$4\int\tan^2\theta\sec\theta\,\mathrm d\theta$

2

$\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-4}}{x^2}\quad(x\leq-2)$

$x=-2\cosh\theta\quad\color{green}$

$-\int\tanh^2\theta\,\mathrm d\theta$

$\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-4}}{x^2}\quad(x\leq-2)$

$x=2\sec\theta\quad\color{red}$

$-\int\tan^2\theta\cos\theta\,\mathrm d\theta$

3

$\sqrt{9-x^2}$

$x=3\sin\theta\quad\color{green}$

$9\int\cos^2\theta\,\mathrm d\theta$

$\sqrt{9-x^2}$

$x=3\tanh\theta\quad\color{red}$

$9\int\mathrm{sech^3}\,\theta\,\mathrm d\theta$

Answer 3

• Las funciones trigonométricas son básicamente funciones circulares que describen las posiciones horizontal y vertical de un punto en un círculo como función de un ángulo (coseno y seno).

• Las funciones hiperbólicas describen lo mismo pero también pueden utilizarse para resolver problemas que no se pueden resolver mediante la Geometría Euclidiana (donde las funciones circulares son suficientes). Pueden utilizarse para describir la geometría euclidiana, pero básicamente son una extensión de ella y se utilizan para resolver problemas de geometría no euclidiana que surgen en muchas áreas de la Física, por ejemplo, la Relatividad.

• Un ejemplo útil para que lo entiendas mejor sería la derivación de la Transformación de Lorentz utilizando la Rotación de coordenadas. Usar funciones circulares te detendrá en un punto para resolver la solución, mientras que usar funciones hiperbólicas conduce a resolver las ecuaciones que llevan a las famosas Transformaciones de Lorentz (una de las ecuaciones que usas está en la tabla que has proporcionado).

• Otro ejemplo de las Matemáticas es una integral. En este tipo de integrales puedes obtener una respuesta usando otras sustituciones, pero a veces es más natural resolverlas usando sustitución hiperbólica, por ejemplo, la integral en esta pregunta de SE: Integración usando sustitución hiperbólica.

Lee más en http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.html para saber cómo extienden las funciones circulares.