Sustitución Trigonométrica VS Sustitución Hiperbólica

Question

Las siguientes tablas fueron tomadas de la página de la Universidad de Pensilvania sobre Cálculo:

Sustitución Trigonométrica

Sustitución Hiperbólica

Como se puede ver, las formas $1+x^2$ y $x^2-1$ se repiten en las tablas. ¿Cómo saber cuándo es más adecuada una sustitución trigonométrica en un problema que una hiperbólica y viceversa?

Answer 1

Esta es una gran pregunta. También agregaría otra opción: Sustitución de Euler (que tiene varios subtipos dependiendo de los parámetros en el término de la raíz cuadrada).

En la mayoría de los casos, si uno funciona, entonces los tres funcionarán. Más generalmente, si estás realizando una integral de la forma $$ \int R(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}) dx, $$ donde $R(x,y)$ es una función racional de $x$ y $y$ (lo que significa que es un polinomio en $x$ e $y$ dividido por otro polinomio en $x$ e $y$), entonces generícamente los tres métodos funcionarán. Combinar completar el cuadrado, descomposición en fracciones parciales, y partes de integración permite que esto se declare de manera más formal.

Hay un problema en la práctica, sin embargo. Reducir un problema al punto en el que necesitamos realizar descomposiciones en fracciones parciales es genial para numéricos, pero puede ser malo para soluciones exactas ya que podemos necesitar descomponer un polinomio cuyos factores no conocemos formas exactas. (Pero sabemos que la descomposición en fracciones parciales existe).

Eso está empezando a alejarse de tu pregunta, sin embargo. Una buena regla de inicio es siempre usar trigonometría en lugar de trigonometría hiperbólica, ya que es probable que estés más familiarizado con integrales racionales de funciones trigonométricas.

Algunos instructores de cálculo mencionan que si una sustitución trigonométrica lleva a la integración de una potencia de $\sec x$ [que a menudo causa problemas porque a menudo caen en la categoría de doble integración por partes "engañosa"], puedes en lugar hacer una sustitución trigonométrica hiperbólica y (a menudo) obtener una integral "más fácil". Es difícil decir realmente que es "más fácil", ya que hay un algoritmo estricto para manejar integrales de potencias de $\sec x$ y para productos más generales de funciones trigonométricas. ¿Realmente es más fácil evitarlo?

Una vez escribí una entrada en mi blog sobre sustitución trigonométrica vs. sustitución trigonométrica hiperbólica vs. sustitución de Euler. Realicé una integral usando las tres técnicas para ver cómo se sienten diferentes, y hablé un poco sobre la motivación. Si tuviera que resumir todo en una sola heurística, es que debería haber aproximadamente una "Conservación de la Dificultad" entre estas técnicas.

Answer 2

En mi opinión, las siguientes sustituciones son suficientes:

aparece en el integrando

sustitución

convención

1

$\sqrt{x^2+1}$

$x=\sinh\theta$

$\theta\in\mathbb R$

2

$\sqrt{x^2-1}$

$x=\pm\cosh\theta$

$\theta\geq0$

3

$\sqrt{1-x^2}$

$x=\sin\theta$

$-\frac{\pi}2\leq\theta\leq\frac{\pi}2$

$\sinh$ y $\cosh$ son mejores sustituciones que $\tan$ y $\sec,$ respectivamente, ya que son más fáciles de diferenciar e integrar, y tienen dominios principales más agradables. $\sin$ es una mejor sustitución que $\tanh$ ya que es más fácil de diferenciar e integrar. Los siguientes ejemplos ilustran esto:

integrande

sustitución

resultado

1

$\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}}$

$x=2\sinh\theta\quad\color{green}$

$4\int\sinh^2\theta\,\mathrm d\theta$

$\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}}$

$x=2\tan\theta\quad\color{red}$

$4\int\tan^2\theta\sec\theta\,\mathrm d\theta$

2

$\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-4}}{x^2}\quad(x\leq-2)$

$x=-2\cosh\theta\quad\color{green}$

$-\int\tanh^2\theta\,\mathrm d\theta$

$\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-4}}{x^2}\quad(x\leq-2)$

$x=2\sec\theta\quad\color{red}$

$-\int\tan^2\theta\cos\theta\,\mathrm d\theta$

3

$\sqrt{9-x^2}$

$x=3\sin\theta\quad\color{green}$

$9\int\cos^2\theta\,\mathrm d\theta$

$\sqrt{9-x^2}$

$x=3\tanh\theta\quad\color{red}$

$9\int\mathrm{sech^3}\,\theta\,\mathrm d\theta$

Answer 3

• Las funciones trigonométricas son básicamente Funciones Circulares que describen las posiciones horizontal y vertical de un punto en un círculo como una función del ángulo (coseno y seno).

• Las funciones hiperbólicas describen lo mismo pero también se pueden usar para resolver problemas que no se pueden resolver con Geometría Euclidiana (donde las funciones circulares son suficientes). Se pueden usar para describir la geometría euclidiana pero básicamente son una extensión de ella y se utilizan para resolver problemas de geometría no euclidiana que surgen en muchas áreas de la Física por ejemplo la Relatividad.

• Un ejemplo útil para que lo entiendas mejor sería la derivación de la Transformación de Lorentz usando la Rotación de coordenadas. Usar funciones circulares te detendrá en un punto para resolver la solución mientras que usar funciones hiperbólicas te lleva a resolver las ecuaciones que llevan a las famosas Transformaciones de Lorentz (Una de las ecuaciones que utilizas está en la tabla que has puesto).

• Otro ejemplo de las Matemáticas es una integral. En este tipo de integrales puedes obtener una respuesta usando otras sustituciones pero a veces es más natural resolverlas usando una sustitución hiperbólica, por ejemplo la integral en esta pregunta de SE: Integration Using Hyperbolic Substitution.

Lee más en http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.html para saber cómo extienden las funciones circulares.