Desigualdad de la interpolación en el espacio del titular

Question

Que $0< \beta < \gamma <1$. Mostrar que la desigualdad de la interpolación.

$$||U||_{C^{0,\gamma}(U)} \le ||U||^{\frac{1-\gamma}{1-\beta}}_{C^{0,\beta}(U)} ||U||^{\frac{\gamma-\beta}{1-\beta}}_{C^{0,1}(U)}.$$

Answer 1

Una idea: % expresa $\gamma$como una combinación convexa de $\beta$ y $1$, decir $\gamma=a+b\beta$ donde $a+b=1$. Observe % $ $$|x-y|^\gamma=|x-y|\cdot |x-y|^{b\beta}$y utilizar el % de propiedad $\sup_{z\in I}|g(z)h(z)|\leqslant \sup_{z\in I}|g(z)|\sup_{z\in I}|h(z)|$.