Parece que CW complejos suben mucho cuando estudiar espacios en topología algebraica. Sin embargo, es algo que no parece mencionarse mucho si un espacio topológico dado como un complejo CW. ¿Esto es porque es posible para la mayoría de los espacios que se considera para ser "útil"? ¿Existe alguna condición específica para cuando un espacio topológico es un complejo de CW?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Hay un montón de pruebas para ver si un espacio no es un CW-complejo, como comprobación para ver si no ser etcetera localmente contractible, normal, Hausdorff.
Generalmente, uno sólo se preocupa por un espacio que homotopía equivalente a un CW-complejo. Hay una declaración en el libro de Hatcher (Proposición A.11) que dice si $Y$ es un espacio, $X$ es un CW-complejo, y hay mapas de $i \colon Y \to X$ y $r\colon X \to Y$ por lo que $ri \simeq \mathrm{id}_Y$, entonces $Y$ homotopía equivalente a un CW-complejo.
Ciertamente, no hay ninguna prueba de que si un espacio topológico es igual a un CW complejo. No es más plausible para probar si es homeomórficos a uno, que puede ser lo que usted entiende por su fraseo "es un CW complejo". Otra respuesta se ha dado una condición para que un espacio para ser homotopy equivalente a un CW complejo, que es de mucha más importancia. Otro caso muy interesante es que muchos de los espacios de funciones continuas en CW complejos son homotopy equivalente a CW complejos: por ejemplo, el bucle espacio de $\Omega X$ de los mapas de $S^1$ $X$ $X$señaló una CW complejo está de nuevo de la homotopy tipo de un CW complejo. Esto es bastante difícil de ver en un modo elemental cuando se considera que $\Omega X$ es un infinito-dimensional cosa.
Sin embargo, no todos los espacios de funciones $X^Y$ donde $X$ $Y$ CW complejos son homotopy equivalente a CW complejos, que es una de las principales razones de la mayoría de los algebraicas topologists prefieren trabajar con lo que se llama compacta generado espacios. Por el otro lado, cada espacio está débilmente homotopy equivalente a un CW complejo. Esto significa que existe un mapa continuo $X\to Y$ donde $Y$ es un CW complejo de la inducción de la isomorphisms en todos los homotopy grupos. Así que si piensa que sólo un débil homotopy equivalencia como hacer dos espacios "el mismo", entonces la respuesta a tu pregunta es que cada espacio es un CW-complejos y para homotopy teoría, esto es bastante razonable la posición a tomar.
Me gusta poner lo que es en cierto modo el punto de vista contrario, y pregunte: ¿cómo hace uno para especificar un espacio? Es una manera de dar las construcciones de otros espacios, por ejemplo, las funciones de los espacios. Pero, ¿cómo dar a los otros espacios?
La historia de CW-complejos es que Whitehead generalizada de otras construcciones en su muy original de los artículos publicados 1939-1941 que dio la idea de un "complejo de la membrana", un simplicial complejo en el que algunos de los simplices se "fusionaron" en grupos más grandes, formando una "membrana". Durante la guerra trabajó en Bletchley Park. Después de eso, él reescribió estas ideas en nuestro familiar CW-complejos, donde CW significa "cierre finito con la topología débil". Así que la idea es que el espacio se da de manera constructiva mediante la fijación de las células con el fin de aumentar las dimensiones, es decir, complicado espacios construidos de simple, y esto permite inductivo pruebas de teoremas.
Por lo tanto CW-complejos de dar un excelente ejemplo de espacios con una estructura adicional, en este caso, su esqueleto de filtración.