Hola a Todos, tengo esta tarea problema, voy a compartir lo que tengo hasta ahora, no se si estoy en el camino correcto. En primer lugar, tengo: $$f \sim g \, \Leftrightarrow \,x_0 \in \mathbb{R^n}, \exists \,U \ni x_0\,\mid f|_U = g|_U$$
(A) Reflexividad: $f \sim f \Rightarrow$ $x_0 \in \mathbb{R^n}, \exists \,U \ni x_0\,\mid f|_U = f|_U$
(B)Simetría: Si $f \sim g$ $g \sim f$ $\Rightarrow$ para $x_0 \in \mathbb{R^n}, \exists \,U \ni x_0\,\mid f|_U = g|_U$ $g|_U = f|_U$
(C)Transitividad: Si $f \sim g$$g \sim h$, $f \sim h \Rightarrow $ $ x_0 \in \mathbb{R^n}, \exists \,U,V \ni x_0\,\mid f|_U = g|_U$ $\,\,\,\,\,\,\,\,g|_V = h|_V,$ por lo tanto $f|_{U \cap V} = h|_{U \cap V}$, lo $f \sim h$
Ahora, la clase de equivalencia se define como sigue: $$[f]= \{\varphi \in C_{x_0}\ | \varphi \sim f\} \Rightarrow \varphi|_U = f|_U $$
$$[g]= \{\pi \in C_{x_0}\ | \pi \sim g\} \Rightarrow \pi|_V = g|_V$$
Ellos están bien definidos, supongamos que los $[f]=[\phi]$$[g]=[\psi]$, entonces decimos que:$[f]+[g] = [\phi]+[\psi] $$[f][g]=[\phi][\psi] $. Ahora, por definición,para$x_0 \in \mathbb{R^n}, \exists \,U \ni x_0\, ,f|_U = \phi|_U$$\exists \, V \ni x_0\ ,g|_V = \psi|_V $, esto implica que:$$(f+g)|_{U \cap V} = (\phi+\psi)|_{U \cap V} \Rightarrow [f + g] = [\phi + \psi],$$ $$(f g)|_{U \cap V} = (\phi \psi)|_{U \cap V} \Rightarrow [f g] = [\phi \psi]$$
Así que ellos están bien definidos.Por otro lado, tengo: $$\phi:C_{x_0} \longrightarrow \mathbb{R}, \phi[f]=f(x_0) $$
De modo que el núcleo de $\phi$$M_{x_0}$, por el primer teorema de isomorfismo, tenemos que: $$ C_{x_0}/M_{x_0} \cong \mathbb{R} $$Now, $\mathbb{R}$ is a field, therefore $C_{x_0}/M_{x_0} $ is a field $\Rightarrow$ $M_{x_0}$ is maximal. To prove that $M_{x_0}$ is the unique maximal, first we notice that $M_{x_0}$ contains no units, so if $f \noen M_{x_0}.$ Then $f(x_0) \neq 0 \Rightarrow \exists \ U \ni x_0$ such that $f(y) \neq 0, \forall y \U, \Rightarrow 1/f$ exists in a neighborhood of $x_0, \, \Rightarrow 1/f$ is a unit in $C_{x_0} \Rightarrow C_{x_0}$ is a $\mathbf{local \,anillo}$, so $M_{x_0}$ is the unique maximal by the characterization of $\mathbf{local\, anillos}$
Ahora a probar que $M_{x_0}$ es finitely generado, Tenemos: $$ h(1) - h(0) = \int^1_0 h'(s)\,ds$$ where $f(x_0)=0 $ in $M_{x_0}$ and $h(s) = f(s(x-x_0) +x_0)$. On the other hand, $$h'(s) = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial s}, $$ pero $\frac{\partial x_i}{\partial s} = (x_i - x_0^{i}),$ esto es cierto porque para $s \in \mathbb{R}$ y el aviso de que $h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, por lo $(s(x-x_0) +x_0) \in \mathbb{R} \Rightarrow (s(x_i-x_0^{i}) +x_0) \in \mathbb{R^n} $. Ahora, $h(1) = f(x)$$ h(0) = f(x_0)=0$. Por lo tanto: $$f(x) = \sum\limits_{i=1}^n (x_i-x_0^{i})\cdot(\int^1_0 \frac{\partial f}{\partial x_i}\,ds),$$ Now, since the integral $\int^1_0 \frac{\partial f}{\partial x_i}\,ds$ depends on the variable $s$, we thus have that the generators of $M_{x_0}$ are $(x_i-x_0^{i})$. En otras palabras, $$M_{x_0} = \langle x_1-x_0^{1},x_2-x_0^{2}, \cdots, x_n-x_0^{n}\rangle$$
Ahora no estoy seguro acerca de un par de cosa:
1) esta es la mejor prueba de la equivalencia de la relación de ${\bf Done}$
2) no entiendo cómo la prueba de que no están bien definidas ${\bf Done}$
3) $C_{x_0}/M_{x_0} $ es un campo, entonces $M_{x_0} $ es máxima, esto prueba de que es el único. ${\bf Done}$
4) Es el procedimiento en $M_{x_0}$ es finitely generado claro o necesito un poco de otras cosas, mi profesor me dijo que las funciones en el ejercicio son demasiado suave
