¿Qué es $i$ elevado a sí mismo $i$ veces?

Question

Solo estaba preguntándome sobre esto. Investigué en la red y descubrí que se llama tetration y después viene pentation y luego hexation y así sucesivamente.

Realmente no entiendo la tetration pero estoy curioso por la respuesta. ¿Qué es $i$ elevado a sí mismo $i$ veces? Además, si tiene algún sentido, ¿qué es ‘pentado’ o ‘hexado’ a sí mismo $i$ veces? ¿Hay una respuesta para esto? Y si sí, ¿hasta qué ‘etapa’ podemos hacer esto (‘etapa’ en el sentido de ‘tetration’, ‘pentation’)? ¿Podemos hacer esto indefinidamente? ¿Hay una fórmula para esto?

Pido disculpas si esta pregunta ha sido hecha anteriormente.

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Creo que mi pregunta es un poco confusa. Esto es lo que quiero decir:

$i$ elevado a sí mismo $1$ vez: $i^1$

$i$ elevado a sí mismo $2$ veces: $i^{i^{1}}$

$i$ elevado a sí mismo $3$ veces: $i^{i^{i^{1}}}$

$i$ elevado a sí mismo $i$ vez(es): ?

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Edición: Los enlaces de 'posible duplicado' proporcionados no están preguntando lo mismo. Aquí hay otro intento:

Ahora considera el caso donde $a = i$ y $n = i$.

No estoy preguntando qué es $i$ multiplicado por sí mismo $i$ veces (que es igual a $i^i$). Estoy preguntando qué es $i$ elevado a la potencia de $i$ elevado a la potencia de $i$... esto se hace '$i$ veces'.

Answer 1

Como ya señaló Will Jagy, no hay ninguna solución aceptada para esto. Existe un procedimiento formal que a veces puede llevar a una respuesta significativa/aproximada; pero esto depende de la convergencia de algunas series, que ocurren en ese procedimiento, y también de en qué forma queremos dar sentido a potencias no enteras de números negativos o complejos.
Me refiero al procedimiento que aplica la función de Schröder en una serie de potencias recentrada.
La forma formal de hacer esto es

• determinar un punto fijo t para la exponenciación con base b de manera que $b^t = t$ (aquí nuestra base es $b=i$ ). También denota el logaritmo de $t$ como $\log(t)=u$
• definir la función auxiliar $f(x) = t^x-1 $
• calcular la matriz triangular (inferior) de Carleman-/Bell- para $f(x)$ , llámela por ejemplo $U$
• diagonalizar la matriz $U$ en $M$, $D$, $W (=M^{-1}) . Luego en la diagonal de $D$ están las potencias consecutivas de $u$
• definir la función de Schröder $s$ a partir de la segunda columna de $M$ de manera que $ s(x) = \sum_{k=1}^\infty m_{k,1} x^k $ y su inversa a partir de la segunda columna de $W$ de manera que $ s^{-1}(x) = \sum_{k=1}^\infty w_{k,1} x^k $
• calcular el valor de Schröder $\sigma = s(x/t-1) $ para algún argumento $x$. (Por ejemplo $x=1$ -esto también se asume tácitamente si escribimos b^^h para la h-ésima tetraconación con la base b)
• calcular el valor de la función para la h-ésima altura de tetraconación por $x_h = (s^{-1}(\sigma u^h)+1) \cdot t

Acabo de intentar esto con la base $b=i$ en Pari/GP (que también dio $ \small t \sim 0.438282936727 + 0.360592471871 i $ y $ \small u \sim -0.566417330285 + 0.688453227108 i$) y para alturas de enteros pequeños h esto da buenas aproximaciones (aunque tenemos series de potencias complejas involucradas(!)). Sin embargo, vemos en el último paso, que el logaritmo $u$ del punto fijo debe elevarse a la h-ésima potencia - y esto significa para tu pregunta un valor complejo a la potencia $i$. Esto no es único y las potencias de este valor (seleccionado "fortuitamente") ocurren entonces en la fórmula de la función de Schröder inversa.
Ahora, después de simplemente insertar $h=i$ y dejar que Pari/GP determine el resultado usando $\sigma u^i $ para la $i$-ésima tetraconación (comenzando desde $x_0=1$) con base $i$ entonces llego a algo como $x_i = i^{\text{^^}i} \sim 0.500129061734+0.324266941213 i $ .

Todo este procedimiento tiene - incluso en el caso de una base real y puntos fijos reales, la desventaja aún sin resolver de que el resultado dependerá de la selección del punto fijo $t$ . Además, incluso para valores fraccionarios simples de $h$ , digamos $h=0.5$ , las series que surgen no convergen correctamente o solo aproximadamente, de modo que la semi-iteración de $x$ a $x_{0.5}$ y luego la semi-iteración adicional de $x_{0.5}$ a $x_1$ es solo aproximada con series de potencias truncadas (prácticamente necesariamente). Así que además de la falta de unicidad en el punto, donde elevamos el complejo $u$ a la potencia $i$ en nuestro ejemplo específico, también hay básicamente un problema de convergencia con todo el procedimiento.

Nota, hay una afirmación de que se encontró una solución general para la tetraconación a alturas complejas; mira en citizendium en el artículo de Dmitri Kouznetsov, pero aún no he visto que haya sido confirmado externamente (y no puedo hacerlo yo mismo). También tenemos en el foro de tetraconación la afirmación de que podemos determinar de manera única tetraciones fraccionarias al menos para algunas bases "no triviales", que básicamente se derivan del enfoque de Kneser para la iteración fraccionaria con base $b=e$. Mira los mensajes del usuario "Sheldonison" (Levenstein) que incluso proporciona un conjunto de procedimientos de Pari/GP para calcular tetraciones fraccionarias para una gama de bases fuera del rango "fácil" de bases reales $1 \ldots e^{1/e} $. Lamentablemente aún no soy capaz de juzgar esas afirmaciones de Kouznetsov y de Levenstein.

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Actualización tardía: aquí hay una imagen que muestra la iteración fraccionaria basada en la solución de Schroeder/Koenigs para la tetraconación.
El inicio se toma en $z_0=1$ y a partir de esto se tetrata con alturas reales de $z_0$ a $z_7$ dando la trayectoria casi espiral hacia el (primer) punto fijo $z_\infty$.
La iteración con alturas (puramente) imaginarias sigue la línea roja directamente de $z_0$ a $z_\infty$. El punto que se alcanza después de la iteración "$î$ veces" se marca como $z_î$ (cerca del punto fijo al final de la línea roja)

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[reserva del autor] Hoy se ha intentado insertar en mi respuesta una afirmación de que el método de Kouznetsov era "la oficial" tetraconación, basado en algunas consideraciones de razones. Rechazo eso. Sin un eco más calificado en la comunidad matemática profesional, no es mi función afirmar eso y generar obfuscación evitable. Por favor, no intentes extender el enfoque de mi respuesta de esa manera, siempre puedes ponerlo en otra respuesta.

Answer 2

Bueno, ¿por qué no? El objetivo de estos temas es tomar una función $f(z)$ definida en alguna región del plano complejo, a menudo incluyendo la línea real o parte de ella, luego definir $f_1(z) = f(z)$ y $f_0(z) = z.$ El deseo es poder definir $f_s(z)$ para $s$ real o incluso complejo, de modo que obtengamos un grupo $$ f_{s+t}(z) = f_t(f_s(z)) = f_s(f_t(z)). $$ Ahora, el único escenario donde esto es un éxito sin reservas es cuando $f$ es una transformación lineal fraccional. El tema tradicional de la iteración fraccional consiste en preguntar acerca de $$ f_{1/2}(z). $$ Como encontró Baker, y terminó su estudiante Liverpool, es bastante común tener tales iteraciones fraccionales sin poder extenderlas a $s$ irracionales o no reales.

En realidad, no estoy completamente seguro de cómo se definen las torres de exponenciación en este escenario. Aún así, de una forma u otra, estás intentando extender desde $s$ siendo un entero positivo a $s=i,$ y simplemente no hay garantía de que haya alguna forma de hacerlo. Ciertamente, no se ha encontrado ninguna.

Como dije en el comentario, ver BAKER_ECALLE. Este tema es parte más naturalmente de la dinámica compleja, aunque puede que no parezca así ahora.