¿Caso la imposibilidad de resolver $n>2$% #%, #% con $x^n +y^n=z^n$ enteros racionales implican el mismo con $x, y, z$ números enteros algebraicos?
¿Por el contrario, si siguen insolvability en números enteros algebraicos, luego siga de simples consideraciones o sigue siendo una pregunta interesante?
Ejemplo interesante: un Aigner vieron $x^4+y^4=z^4$ en extensiones cuadráticas de los racionales y que $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ es la extensión cuadrática sólo para contener soluciones no triviales. Tenga en cuenta que $(1+\sqrt{-7})^4+(1-\sqrt{-7})^4=2^4$. Esto se vieron otra vez por Faddeev y luego por Mordell (Acta Arith. 14 1967/1968 347 - 355).
Esto es sobre todo una amplificación de Kevin Ratonero comentario.
Preguntar acerca de los puntos en la curva de Fermat $F_n: X^n + Y^n = Z^n$ con valores en un campo de número de $K$.
Primero observe que puesto que la ecuación es homogénea, cualquier valor distinto de cero con la solución de $(x,y,z) \in K^3$ se puede aplicar el zoom a dar una solución distinto de cero $(Nx,Ny,Nz) \in \mathbb{Z}_K$, el anillo de enteros algebraicos de $K$ -- aquí $N$ puede entenderse como una ordinaria número entero positivo.
Por lo tanto tienes dos "parámetros": el grado $n$ y el campo de número de $K$.
Si usted fix $n$ y preguntar (como has parecía a) si existen soluciones en algún campo de número de $K$, la respuesta es trivialmente sí como Kevin dice: tome $x$ $y$ a ser lo algebraica de números enteros que usted desea; cada algebraicas entero tiene un $n$th raíz, que es otro algebraicas entero, por lo que sin duda puede encontrar una $z$ en algunos de número de campo que da una solución. Por otra parte, si tomamos $x$ $y$ en un determinado campo de número de $K$ (por ejemplo,$\mathbb{Q}$), entonces usted puede encontrar una infinidad de soluciones en diferentes campos de número de $L/K$ de grados en la mayoría de las $n$. Pero es interesante preguntarse sobre que el número de campos (o que el número de campos de un determinado grado) es una solución no trivial.
Por otro lado, si usted arreglar el campo de número de $K$ y pide que $n$ la curva de Fermat $F_n$ tiene una solución $(x,y,z) \in K$$xyz \neq 0$, entonces usted está en el negocio: este es un profundo y difícil problema. (Usted puede hacer este tipo de preguntas para cualquier curva algebraica, y muchas personas, incluido yo mismo, han dedicado gran parte de sus matemáticos vida a este tipo de problema). A lo que yo sé / no recuerda en este momento, por un general $K$ no hay que mucho de lo que sabemos acerca de este problema para la familia de curvas de Fermat específicamente, y hay otras familias (modular curvas, curvas de Shimura) que entendemos mucho mejor. Pero hay algunos hermosos resultados generales de Faltings y Frey relacionados con la plenitud de las soluciones (de hecho, no sólo durante un número determinado campo, pero sobre todo en los campos de número de limitada grado) a las propiedades geométricas de las curvas, como el menor grado de un número finito de mapa de la línea proyectiva (el "gonality").
Kolyvagin "En el Primer Caso, el Teorema de Fermat para Cyclotomic Campos" es que vale la pena mencionar aquí. El punto principal de este trabajo es que, aunque diferentes, caso por caso, las eliminaciones (por ejemplo, Kummer la regularidad, los primos de Sophie Germain, Wieferich condiciones) son obsoleta por la solución completa a FLT $\mathbb{Q}$, en las mismas condiciones, o adecuado generalizaciones, todavía debe trabajar sobre otros campos de número-se trata, en particular, con cyclotomic campos y elimina el análogo conjunto de primer exponentes para el primer caso de FLT $\mathbb{Q}(\zeta_\ell)$.
Creo que es natural mirar en cuadrática extensiones y $n=3$, que creo que elimina las soluciones obvias. Yo solía $(5-\sqrt 6)^3 + (3\sqrt 6)^3 = (5+\sqrt 6)^3$ para este problema.
Este documento, en números Enteros tiene algunas referencias útiles, y una nueva prueba de que el caso $n=3$ no tiene soluciones no triviales sobre los enteros de Gauss $\mathbb Z[i]$.
"En L. E. Dickson de la Historia de la Teoría de los Números, uno puede encontrar que esta pregunta ya ha sido contestada por R. Feuter dentro del marco de la teoría algebraica de números. Es decir, él ha demostrado que si $a^3+b^3+c^3 = 0$ es solucionable por los números de $\ne 0$ de un imaginario cuadrática de dominio $k(\sqrt m)$, donde $m \lt 0$, $m = 2 (\mod 3)$, a continuación, el número de clase de $k$ es divisible por 3. Ahora $k = \mathbb Z$, $m = −1$ y $\mathbb Z$ es una de las Principales Dominio Ideal tener clase número 1 no es divisible por 3."
Una parte de los resultados de Kolyvagin ya fue probada por Pedro Dénes,"Über den ersten Otoño des letzten Fermatschen Satzes", Monatshefte für Mathematik, Bd. 54/3, 1950.
Dénes demostrado : sea p un extraño prime, vamos K denota el p-ésimo cyclotomic campo, sea P denota el primer ideal $(1 - \zeta)$ de K (donde $\zeta$ denota una primitiva de la p-ésima raíz de la unidad); a continuación, en cada una de las soluciones (si existen) de la ecuación de $x^p + y^p + z^p = 0$ donde x, y y z son P-los elementos que forman parte de K no divisible por P, la racional entero t congruente a x/y (resp. y/z, resp. z/x) módulo P es una raíz de Kummer del sistema de congruencias $B_{2i}l^{p-2i}(t + \zeta) \equiv 0 \pmod{p}$ for i = 1 a (p-3)/2, donde la $l^{j}$ denota la j-ésima Kummer función logarítmica (con respecto a $\zeta$).
Es Satz 1 de su artículo, p. 162. Usted puede leer este artículo aquí : http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN362162050_0054&DMDID=DMDLOG_0017&LOGID=LOG_0017&PHYSID=PHYS_0166
El papel de Kolyvagin está aquí : http://www.mathnet.ru/links/025935a4111ecc8ca5d60949a1020353/into103.pdf
El comienzo de la traducción al inglés está aquí : http://link.springer.com/article/10.1023/A%3A1017955309615#page-1
Kolyvagin del teorema 1 es la misma que Bénes del Satz 1.
Como se puede ver en la bibliografía, Kolyvagin no parecen conocer el papel de Dénes.
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