Cómo probar esta desigualdad $x_{3}<x_{2}\le\dfrac{3x_{3}}{2}$

Question

Que $x_{1},x_{2},x_{3}\in \Bbb{N}\setminus\{0\}$ donde $$(x_{1},x_{2})+[x_{1},x_{2}]=(x_{1},x_{3})+[x_{1},x_{3}]+1$ $ y que $\dfrac{x_{i}}{x_{j}}\neq k,k\in N^{+},i,j=1,2,3$.

Mostrar que $$x_{3}<x_{2}\le\dfrac{3x_{3}}{2},$ $ donde $(x,y)=\gcd(x,y),[x,y]=\mathrm{lcm}(x,y)$.

está bien kown $$[x,y]=\dfrac{x\cdot y}{(x,y)}$ $ por lo que nos han $$x_{1} \left(\dfrac{x_{2}}{(x_{1},x_{2})}-\dfrac{x_{3}}{(x_{1},x_{3})}\right)=(x_{1},x_{3}-x_{2})+1$ %#% $ #% $ pero solo usar este no puede resolverlo

Answer 1

Vamos $$g = (x_1,x_2) \quad h = (x_1,x_3) \\ x_1 = a_1 g, \quad x_2 = a_2g \quad x_3 = a_3 h $$ luego de $x_i/x_j \not\in \mathbb{N}$ debemos tener $a_1,a_2,a_3 > 1$$x_1/h>1$. La condición se convierte en $$ \begin{align} g + \frac{x_1 x_2}{g} &= h + \frac{x_1 x_3}{h} + 1 \\ g + a_1 a_2 g =& h + a_1 g a_3 + 1 \\ g(1+a_1(a_2-a_3)) &= h + 1 \end{align} $$

Caso 1: $a_2<a_3$. Esto requeriría $h<0$, por lo que este caso es imposible.

Caso 2: $a_3<a_2$. Entonces $$ h+1 \ge g(1+a_1) \ge 1+x_1 > 1+h $$ y en este caso también es imposible.

Caso 3: $a_2=a_3$. A continuación,$g=h+1$. De $g/h = x_2/x_3 \not\in\mathbb{N}$ debemos tener $h\ge 2$ y $$ x_3 = (g-1)a_2 < x_2 = \frac{h+1}{h}x_3 \le \frac{3}{2} x_3 $$