Transporte paralelo a lo largo de una curva

Question

Tuvimos esta tarea para nuestro curso de geometría, y no pudimos resolverlo, ninguna idea sobre cómo hacer esto:

Considere el modelo de Poincare del avión Lobachevsky,

$H^2=\left\lbrace{ (x,y):\quad x \in \mathbb{R}, \quad y > 0,\quad dl^2 = (dx^2 + dy^2)/y^2 }\right\rbrace$

• Demuestre que en el transcurso del transporte paralelo a lo largo de la curva$\gamma = \left\lbrace x(t) = t, y = y_0 = \text{constant} > 0 \right\rbrace $, los vectores giran uniformemente con la velocidad angular$1/y_0$.

Answer 1

Me doy cuenta de que esta es una vieja cuestión, pero yo estaba buscando una relacionada con el problema y he encontrado una solución simple. Primero, un poco de teoría:

Deje $E_1 = (y,0)$ $E_2 = (0,y)$ ser un ortonormales base para $T_{(x,y)} \mathbb{H}^2$ la forma de conexión $\omega_{12}$ puede ser calculado como cualquier forma de conexión en una de conformación del colector con la regla de $g$: $$\omega_{12} = g_y \theta_1 + g_x \theta_2$$

Donde $\theta_1$ $\theta_2$ son el doble de 1-formas de $E_1,E_2$, $\theta_1 = \frac{dx}{g}$ y $\theta_2 = \frac{dy}{g}$, en términos de las formas duales de $\mathbb{R}^2$.

Pero desde $g_x = 0$$g_y = 1$,$\omega_{12} = \frac{dx}{g}$, pero la expresión coordinada por $\gamma'(t) $ $(1,0)$ y, $\omega_{12} ( \gamma'(t) ) = \frac{1}{g(\gamma(t))} = \frac{1}{y_0}$.

Ahora, $Y$ puede ser escrito como

$$Y = c \cos \phi E_1 + c\sin \phi E_2$$ Donde $\phi = \angle Y,E_1$. El uso de la condición de $Y'(t) =0$ llegamos a $$\phi'(t) = - \omega_{12} (\gamma'(t))$$ Y por lo tanto $\phi(t) = \phi(0) - \int_0^t \frac{1}{k} d\eta$, $\phi(t) = \phi(0) - t \frac{1}{y_0}$

Por lo $Y = c \cos \left(\phi(0) - t \frac{1}{y_0} \right )E_1 + c \sin \left(\phi(0) - t \frac{1}{y_0} \right )E_2$

Es decir, los vectores de girar de manera uniforme con velocidad angular $\frac{1}{y_0}$

Se puede ver en la imagen a continuación varios de los campos vectoriales con la inicial del vector de $(1,0)$ en los puntos de la forma$(0,y_0)$$0<y_0<5$.

Answer 2

Déjenme comenzar esta respuesta al admitir que no sé lo suficiente acerca de la definición de transporte paralelo invoving una conexión afín, que probablemente sería el más riguroso manera de mostrar esto. Yo uso un enfoque intuitivo de transporte paralelo se efectúa manteniendo el mismo ángulo con una geodésica. Se me ocurrió una explicación que tiene sentido para mí, y el amor de los comentarios de cualquiera de saber más.

En un punto de $P=\gamma(t)$, la geodésica a través de$P$, pasando a lo largo de la dirección horizontal del viaje es la parte de la circunferencia de radio $1/y_0$ centrada en $(t,0)$ acostado en la mitad superior del plano -. De modo que el vector unitario a lo largo de la línea geodésica tiene velocidad angular $-1/y_0$ radianes por segundo, negativa, ya que se mueve hacia la derecha a medida que nos movemos hacia la derecha a lo largo de $\gamma$. Desde nuestro vector unitario en la $\gamma'$ sentido es una constante vector que apunta hacia la derecha, esto significa que, con respecto a la geodesics utilizados en el transporte paralelo, $\gamma'$ está girando a angualr velocidad de $+1/y_0$.