Estoy teniendo problemas para probar la siguiente y se aprecia una sugerencia para empujar a mí en la dirección correcta.
Deje $A \triangleleft G$ $B \triangleleft G$ donde $G/A$ es perfecto y $G/B$ es solucionable. Mostrar que $AB=G$.
Como sugerencia, me han dicho para mostrar que $G/AB$ es perfecto tanto y solucionable. Veo que esto implica que $G/AB$ es trivial y, por tanto,$AB=G$. Pero, no he sido capaz de demostrarlo.
Me imagino que hay varias maneras en que se nos podría mostrar esto. Una sería de alguna manera la construcción $G/AB$ $G/A$ $G/B$ y muestran que las propiedades que se desean transferir. Sin embargo, no veo una buena manera de hacer esto como $G/A$ $G/B$ son mayores de $G/AB$, y yo no podía entender cómo cualquier cosa con la intersección.
Mi otra idea era utilizar las propiedades de $G/A$ $G/B$ trabajar hacia atrás y encontrar las propiedades de $A$$B$, a continuación, tratar de combinar esas propiedades en $AB$,, a continuación, intente la transferencia al cociente. También no puedo encontrar una manera para hacer esto, y no estoy tan seguro de que este es un buen camino a seguir. Por ejemplo: desde abelian grupos tienen solución, $B$ podría ser tan general como cualquier subgrupo normal de primer o el primer cuadrado del índice.
Sé que si $\phi: G \to H$ es un surjective homomorphism, a continuación,$\phi(G^{(n)})=H^{(n)}$. Tomar la canónica homomorphism $\pi: G \to G/A$. Entonces a partir de la $(G/A)'=G/A$ tenemos $\pi(G')=G/A$ pero desde $\pi(G')=G'/A$, esto parece implicar (a mí) $|G'/A|=|G/A|$$G=G'$. Es esto correcto?
De nuevo, se lo agradecería un poco de ayuda para mí va en la dirección correcta. Gracias.
