Límite sin norma de L'Hopital

Question

¿Cómo calcular los límites de las siguientes funciones sin utilizar la regla de L'Hopital?

1) $\displaystyle\underset{x\to 0^{+}}{\lim} \frac{e^{1/x} + 2 e ^{-1/x} + \ln x}{3e^{1/x} + 5e^{-1/x} + 7\ln x} $

2) $\displaystyle\underset{x\to 0^{+}}{\lim} \frac{x+e^{-1/x}}{x-e^{-1/x}}$

No sabría por dónde empezar. Muchas gracias.

Answer 1

Para el problema 1, hice esto:

Sacar $e^{1/x}$

$$\lim_{x\to 0} \frac{1+ 2\,e^{-2/x}+e^{-1/x}\ln x}{3 + 5\,e^{-2/x} + 7\,e^{-1/x}\ln x}$$

¿Y ahora qué?

Para el problema 2, hice esto:

Sustituir $y=1/x$

$$\lim_{x\to 0} \frac{1/y + e^{-y}}{1/y - e^{-y}} $$

¿Y ahora qué?

Muchas gracias.

Answer 2

Siguiendo la pista de 1) se obtiene

$$ \require{cancel} \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\cancel{e^{1/x}}}{\cancel{e^{1/x}}}\frac{1 + 2e^{-2/x} + e^{-1/x}\ln x}{3 + 5e^{-2/x} + 7e^{-1/x}\ln x} $$

Y luego observamos que, para $x\to 0$ , $e^{-1/x}$ vence a $\ln x$

$$ \left\vert \frac{\ln x}{e^{1/x}} \right\vert \leq \left\vert \frac{x-1}{e^{1/x}} \right\vert \underset{x\to0}{\longrightarrow} 0 $$

Y utilicé un la conocida desigualdad del logaritmo . Así que el límite se evalúa como

$$ \lim_{x\to 0^{+}} \frac{1 + 2e^{-2/x} + e^{-1/x}\ln x}{3 + 5e^{-2/x} + 7e^{-1/x}\ln x} = \frac{1}{3} $$

Porque $e^{-2/x}\to 0$ para $x\to 0$ .

Para el problema 2), siguiendo su respuesta, haga el mismo truco: obtenga $y$ de la fracción, y luego

$$ \frac{e^{-y}}{y}\underset{y\to\infty}{\longrightarrow} 0 $$

(Esto es bien conocido, no hay desigualdades de por medio) De modo que el límite para 2) es 1.