Lema de Urysohn para espacios topológicos regulares

Question

Se sabe que no todo espacio topológico regular es completamente regular.

Sin embargo, no veo por qué la prueba estándar del famoso El lema de Urysohn para espacios normales se convierte en un error si asumo sólo la regularidad y sustituyo uno de los conjuntos cerrados en la prueba por un punto.

¿Puede alguien indicarme qué parte de la prueba deja de ser cierta en estas condiciones?

Answer 1

Como referencia, utilizaré la prueba que se expone en Prueba del lema de Urysohn del libro de Kelley.

Por lo tanto, suponga $A$ es un punto, y $X$ es simplemente regular, y veamos cómo va la prueba:

• Poner $F(1)=X-B$ . Nada puede salir mal aquí.

• Elija un conjunto abierto $F(0)$ tal que $A\subseteq F(0)$ y $\overline{F(0)}\cap B=\varnothing$ . Esto funciona, ya que $X$ es regular, y $A$ es sólo un punto.

• Elija un conjunto abierto $F(1/2)$ tal que $\overline{F(0)}\subseteq F(1/2)\subseteq\overline{F(1/2)}\subseteq F(1)$ . Esto funciona, ya que $X$ es regular, y $\overline{F(0)}$ es sólo un po..... Oops.

(Si decide hacer $B$ el punto en lugar de $A$ la prueba sobrevive un paso más, pero te encontrarás con el mismo problema cuando intentes encontrar $F(1/4)$ .)