¿Distribución de Poisson desde la primera llegada?

Question

Perdón si la pregunta es demasiado obvia o extraña, estoy aprendiendo sobre distribuciones de Poisson por mi cuenta.

Supongamos que tengo un proceso independiente que sigue una distribución de Poisson de tasa desconocida (10 partículas en 1D que tienen que llegar a una posición concreta donde termina el proceso) y que conozco el tiempo medio en el que la primera partícula llega a esa posición (hago simulaciones y puedo identificar la primera vez que una partícula llega a esa posición, por ejemplo). ¿Cómo puedo estimar el tiempo medio en el que las 10 partículas han llegado a esa posición?

¡Muchas gracias por cualquier ayuda! Pensé que era sólo 10 * tiempo de la primera, pero eso no parece correcto, ¿verdad?

Answer 1

Sea el parámetro de Poisson $\lambda$ . Entonces la distribución del tiempo mínimo de llegada es exponencial con media $\frac{1}{10\lambda}$ . Si sabemos que entonces sabemos $\lambda$ .

Para terminar, utilizamos el resultado estándar que la media del máximo de $n$ variables aleatorias independientes con distribución exponencial y parámetro $\lambda$ es $$\frac{1}{\lambda}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right).$$

Answer 2

Sea $T_n$ sea la hora del $n$ -ésima llegada del proceso poisson $X(t)$ con tasa $\lambda$ . En $\lambda$ es $1/(\text{simulated mean time of first particle})$ .

$T_n = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n$

donde $Z_n,\: n=1,2...$ son los tiempos entre llegadas.

Es fácil demostrar que $Z_n$ son variables aleatorias exponenciales iid con parámetro $\lambda$ . Obsérvese que una variable aleatoria exponencial con parámetro $\lambda$ es una variable aleatoria gamma con parámetros $(1,\lambda)$ .

Es otro ejercicio sencillo demostrar, por inducción, que la suma $T_n$ es una variable aleatoria gamma con parámetro $(n, \lambda)$ .

Por lo tanto $T_n$ tiene un pdf dado por

$$ f_{T_n}(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}, & t > 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} $$

Utilizar el pdf gamma $f_{T_{10}}(t)$ para calcular el tiempo medio en el que las 10 partículas han llegado a esa posición.

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Puede demostrar que el $Z_n's$ son exponenciales iid así:

$$P(Z_1 > t) = P\{X(t) = 0\} = e^{-\lambda t}$$

$$F_{Z_1}(t) = P(Z_1 \leq t) = 1-e^{-\lambda t}$$

Por lo tanto, $Z_1$ es una v.r. exponencial

Sea $f_1(t)$ sea el pdf de $Z_1$ .

Entonces tenemos que

$$ \begin{align} P(Z_2 > t) & = \int P(Z_2 > t | Z_1 = \tau)f_1(\tau) d \tau \\ & \\ & = \int P[X(t + \tau) - X(\tau)=0]f_1(\tau) d \tau \\ & \\ & = e^{-\lambda t}\int f_1(\tau) d \tau \\ & \\ & = e^{-\lambda t} \end{align} $$

lo que indica que $Z_2$ es también una v.r. exponencial con parámetro $\lambda$ y es independiente de $Z_1$ . Repitiendo el mismo argumento, se puede concluir que $Z_1, Z_2, ....$ son v.r. exponenciales iid con parámetro $\lambda$ .