Acerca de la definición de un módulo.

Question

La siguiente es la definición de un módulo de la Wikipedia.

Supongamos que $R$ es un anillo y $1R$ es su identidad multiplicativa. A la izquierda $R$-módulo de $M$ se compone de un grupo abelian $(M, +)$ y una operación $R × M → M$ tal que para todos los $r, s$$R$$x, y$$M$, tenemos:

$r(x+y) = rx + ry$

$(r+s)x = rx + sx$

$(rs)x = r(sx)$

$1_Rx = x$.

Pensé que la ganancia en $R$ y en $M$ son diferentes y rigurosamente, para la primera y la segunda condiciones de estas dos incorporaciones se usan sin distinción. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Es cierto que el $+$ $r + s$ es de $R$, mientras que el $+$ $x + y$ es de $M$ (mientras que el $+$ $rx + ry$ $rx + sx$ es de $M$), y para ser perfectamente preciso, se deben utilizar diferentes símbolos, quizás $+_R$ $+_M$. Por otro lado, mediante el mismo símbolo en un claro contexto de responsabilidad: usted puede pensar en esto como una instancia de "sobrecarga de operadores" si se sabe que este concepto de lenguajes de programación. Que operación binaria se entiende siempre puede ser inferida a partir de la estructura que contiene los operandos.

Tenga en cuenta que esta anotación compromiso podría no ser posible si $R$ eran un subconjunto de a $M$ pero no un subgrupo; en este caso, sería necesario utilizar completamente diferentes símbolos a fin de no confundir los dos posibles operaciones en $r + s$, se considera como una suma de elementos de $R$ o de $M$. Afortunadamente, esta situación es bastante común, y tal y como nos suele omitir el símbolo de la multiplicación en un producto como $rs$, normalmente utilizamos $+$ para todos los abelian grupo de operaciones en los módulos.