Encuentre todos los números primos$a,b,c$ y entero$k$ que satisfagan la ecuación$a^2 + b^2 + 16 c^2 = 9k^2 +1$

Question

Este fue un problema en la Olimpiada Junior Balcanes de este año.

Así que esto es lo que hice primero: Si$a,b,c,k$ satisface las condiciones, entonces satisfacen la congruencia:$$a^2 +b^2 + c^2 \equiv 1\pmod 3$ $$\implies$ Dos de$a,b,c$ debe ser igual a$3$ .

Considerando$a=b=3$ luego$c \equiv 2\pmod9$ o$c\equiv 7\pmod9$. El único$c$% que encontré es$c=2$.

No tengo idea de cómo proceder a continuación y cómo demostrar que he encontrado todos esos pares.

Answer 1

Tomando$a=b=3$ tenemos$17 = 9k^2 - 16c^2$ o$17 = (3k-4c)(3k+4c)$. Por lo tanto,$3k-4c = 1$ y$3k+4c = 17$ o$k=3$ y$c=2$ solamente.