El ideal máximo de$\mathbb{Q}[x_1,...,x_n]$ está contenido solo en ideales finitos máximos de$\mathbb{C}[x_1,...,x_n]$

Question

Supongamos que$M\subset \mathbb{Q}[x_1,...,x_n]$ es máximo. Me gustaría mostrar que, como un subconjunto de$R= \mathbb{C}[x_1,...,x_n]$,$M$ está contenido solo en finitos ideales máximos. Por Hilbert-Nullstellensatz, sé que los ideales máximos de$R$ son de la forma$(x_1-a_1,...,x_n-a_n)$, así que quizás si$M$ estuviera infinitamente conteniendo muchos de ellos, ¿podría obtenerse una contradicción? No estoy seguro de a dónde ir con esto.

Answer 1

En realidad podemos describir la máxima ideales que contienen a $M$. Permítanme esbozar una más "geométrica" (que podría ser útil si usted está interesado en la geometría algebraica):

• El cociente $\mathbf Q[x_1, \dots, x_n]/M$ es un campo, por lo tanto identificado con un número finito de extensión de $L$ $\mathbf Q$ (por Zariski del lema). Deje $\alpha_i$ ser la imagen de $x_i$ en virtud de esta identificación.
• Del mismo modo, para un ideal maximal $N = (x_1 - \beta_1,\dots,x_n - \beta_n)$$\mathbf C[x_1, \dots, x_n]$, el cociente $\mathbf C[x_1, \dots, x_n]/N$ se identifica con $\mathbf C$ mediante el isomorfismo $$b_N: \mathbf C[x_1, \dots, x_n]/N \rightarrow \mathbf C$$ given by $b_N(x_i) = \beta_i$.
• Una inclusión $M \subset N$ induce una incrustación $$\varphi: \mathbf Q[x_1, \dots, x_n]/M \rightarrow \mathbf C[x_1, \dots, x_n]/N$$ of $L$ into $ \mathbf C.$
• Por el contrario, para una incrustación $$\sigma: L \rightarrow \mathbf C,$$ the maximal ideal $$(x_1 - \sigma(\alpha_1), \dots, x_n - \sigma(\alpha_n) )$$ of $ \mathbf C[x_1, \dots, x_n]$ contains $M$.

Por lo tanto, existen exactamente $[L : K]$ máxima ideales en $\mathbf C[x_1, \dots, x_n]$ contiene $M$ y son los que se describen en la última viñeta de arriba.

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Geométricamente, en el idioma de los planes, esto es lo que está pasando. El cambio de base de morfismos $$\mathbf A^n_\mathbf C \rightarrow \mathbf A^n_\mathbf Q $$ sends a closed point $p$ of $\mathbf^n_\mathbf C$ to its Galois orbit $G_\mathbf Q p$ regarded as a closed point of $\mathbf^n_\mathbf P$. The fiber of $G_\mathbf Q p$ consists the points $\sigma(p)$, for $\sigma \G_\mathbf Q = \operatorname{Ga} (\overline{\mathbf Q}/\mathbf Q)$.

Answer 2

Si no he cometido un error, el resultado es true si $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{C}$ es reemplazado por cualquier extensión de campo, por lo que no necesita el Nullstellensatz.

Deje $A = \mathbb{Q}[X_1, ... , X_n], B = \mathbb{C}[X_1, ... , X_n]$. A continuación, $B$ es una extensión plana de $A$, y para el que va hacia abajo posee propiedad.

Desde $M$ es un ideal maximal, y $A$ $n$- dimensiones del anillo, sabemos por la fórmula de la dimensión de finitely generan álgebras sobre un campo que no es una cadena de $n$ inclusiones de primer ideales $0 \subset \mathfrak p_1 \subset \cdots \subset \mathfrak p_{n-1} \subset M$.

Deje $P$ ser un primer ideal de $B$ que contiene $MB$. A continuación,$P \cap A \supseteq MB \cap A \supseteq M$, lo que implica $P \cap A = M$, debido a $M$ es un ideal maximal de a $A$. Por la bajada de los bienes, existen prime ideales $P_{n-1} \supset \cdots \supset P_1$, contenida en $P$, de tal manera que $P_i \cap A = \mathfrak p_i$.

Ahora tenemos una cadena de $n$ inclusiones de primer ideales $0 \subset P_1 \subset \cdots \subset P_{n-1} \subset P$. Desde $B$ $n$- dimensiones del anillo, $P$ debe ser un ideal maximal.

Hemos demostrado que cada primer ideal del anillo cociente $B/MB$ es máxima. Por lo tanto $B/MB$ es un cero dimensional Noetherian anillo. Pero esto es lo mismo que decir que $B/MB$ es artinian, y un artinian anillo tiene sólo un número finito de máximos ideales. Por lo $MB$, y por lo tanto $M$, está contenida en sólo un número finito de máximos ideales de $B$.

Answer 3

He aquí otro enfoque. Por Zariski del lema, el cociente $L=\mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n]/M$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$. Ahora tensoring la secuencia exacta $$M\to\mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n]\to L\to 0$$ with $\mathbb{C}$ over $\mathbb{Q}$ gives an exact sequence $$M\otimes\mathbb{C}\to \mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]\to L\otimes\mathbb{C}\to 0.$$ The image of the first map is just the ideal in $\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]$ generated by $M$, so this says that $L\otimes\mathbb{C}$ is the quotient of $\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]$ by the ideal generated by $M$.

Ahora $L$ es finito-dimensional como una $\mathbb{Q}$-espacio vectorial, y por lo tanto, $L\otimes\mathbb{C}$ es finito-dimensional (de la misma dimensión) como $\mathbb{C}$-espacio vectorial. En particular, esto significa $L\otimes\mathbb{C}$ es un artinian anillo, así que no tiene sólo un número finito de máximos ideales. Pero la máxima ideales de $L\otimes\mathbb{C}$ están en bijection con la máxima ideales de $\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]$ contiene $M$, así que hemos terminado.