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Question

No puedo encontrar la próxima antiderivada

ps

Intenté con la integración por partes la segunda integral, por favor, ayúdenme.

Mi intento

$$ \begin{aligned} \int \dfrac{\sec^2(x)-1}{\sqrt{x}}\,dx =\int\dfrac{\sec^2(x)}{\sqrt{x}}\,dx-\int\dfrac{dx}{\sqrt{x}}=\int\dfrac{\sec^2(x)}{\sqrt{x}}\,dx-2\cdot\sqrt{x}+C\end {aligned} $$ Muchas gracias.

Answer 1

No creo que hay una forma cerrada solución a su pregunta(como se dijo también en los comentarios).Este es mi argumento:

Sea A=$ \int \frac{tan^2(x)}{\sqrt x}dx$.Porque quiero una integración por partes,lo escribo como:$\int \frac{tan^2(x)}{\sqrt x} x^\prime dx=\frac{xtan^2(x)}{\sqrt x}-2 \int \frac{xtan(x)}{\sqrt x cos^2(x)}dx+\frac{1}{2}A \Leftrightarrow \frac{1}{2}A=\frac{xtan^2(x)}{\sqrt x}-2\int \frac{xtan(x)}{\sqrt x cos^2(x)}dx$

Quiero centrarme ahora en el $\int \frac{xtan(x)}{\sqrt x cos^2(x)}dx$. Con la sustitución de $tan(x)=t$ tenemos que $\int \frac{xtan(x)}{\sqrt x cos^2(x)}dx=\int \sqrt {tan^{-1}} \cdot tdt$ o en otras palabras $\int \sqrt{x} \cdot tan(x) dx$.

Pero cuando se conecta la última integral en Wolfram Alpha que dice: "no se encontró el resultado en términos de estándar de funciones matemáticas"

Sé que tal vez la "respuesta" es largo, pero quería mostrar por qué este no tiene la forma cerrada de la solución.

Answer 2

Solo una nota

$\displaystyle \int\frac{(\tan x)^2}{\sqrt{x}}dx = \int\frac{1}{\sqrt{x}}(\frac{d}{dx}\tan x)\,dx - \int\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\tan x}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2}+ \frac{1}{2}\int\frac{\tan x}{\sqrt{x}^3} dx $

con $\enspace\displaystyle\frac{1}{2}\int\frac{\tan x}{\sqrt{x}^3} dx=\int\frac{\tan (t^2)}{t^2} dt $

La pregunta ha cambiado para encontrar una fórmula para$\enspace\displaystyle\int\frac{\tan (x^2)}{x^2} dx$

para el cual la serie de Taylor alrededor de$\,0\,$ es$\enspace\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}\frac{x^{4n-3}}{4n-3}\,$.

Nunca he visto un formulario cerrado para$\enspace\displaystyle\int\frac{\tan (x^2)}{x^2} dx\,$, tal vez no exista con funciones convencionales.