Prueba de que$\mathbb{R}^+$ es un espacio vectorial

Question

Yo estaba haciendo un poco de principiante álgebra lineal tareas y me encontré con esto:

Probar que $\mathbb{R}^+$ es un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$ con operaciones binarias definidas como $a+b = ab$ (donde $ab$ es la multiplicación en $\mathbb{R}$ $\alpha *b =b^\alpha$ donde$b \in \mathbb{R}$$\alpha \in \mathbb{R} $.

Es fácil demostrar que $(\mathbb{R}^+,+)$ es un grupo Abelian y voy a dejar que parte de la prueba. Sin embargo, al probar las siguientes propiedades de los espacios vectoriales, no parece ser un problema:

$\alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$ ( donde$x,y \in \mathbb{R}^+$$\alpha \in \mathbb{R}$)

Por definición: $$\alpha (x+y) =(x+y)^\alpha $$

y $$\alpha x + \alpha y = x^\alpha + y ^\alpha $$

En el caso general: $(x+y)^\alpha \ne x^\alpha + y^\alpha$ así que esto no parece ser un espacio vectorial, pero incluso la solución en el libro de texto dice que es ( esta propiedad es una prueba totalmente omitido). Este podría ser el autor del error o ¿me equivoco?

Si el error es mío, me gustaría preguntar a y otra pregunta ,que probablemente debe ser publicado en un hilo separado: ¿Cómo puedo encontrar una base de este espacio vectorial. Por definición, necesito encontrar un número real positivo que la combinación lineal podría generar todos los números reales positivos. Esto es bastante simple, pero debo utilizar este espacio vectorial de las operaciones para formar combinaciones lineales generales o de la multiplicación y la adición es decir, sería una combinación lineal de $a \in \mathbb{R}^+$ $b=5a$ o tendría que ser $b=a^5$. Si es esto último, es seguro asumir que cualquier número positivo distinto de 1 es una base de vectores ?

Answer 1

Por definición,$\alpha\odot(x\oplus y)=(xy)^\alpha$$\alpha\odot x\oplus\alpha \odot y=x^\alpha\oplus y^\alpha=x^\alpha y^\alpha$, y los dos son el mismo. I denota el espacio vectorial suma y la multiplicación escalar por $\oplus$ $\odot$ para distinguishability.

Edit: Aunque avid19 ya respondió a esta, cualquier vector distinto de cero se proporcionará un elemento base para $\mathbb{R}^+$, sin embargo, en este caso el vector cero es $1$, ya que el $1\oplus x=1x=x$.

Podemos comprobar esto por lo siguiente. Deje $g$ ser distinto de cero (por ejemplo. $\neq 1$) elemento de $\mathbb{R}^+$, y deje $x$ ser un elemento arbitrario de $\mathbb{R}^+$. Y también le $\alpha\in\mathbb{R}$ ser un escalar. En este caso la ecuación $$ \alpha\odot g=x $$ is written as $$ g^\alpha=x. $$ Taking the $g$-base logarithm of both sides (remember $g$ and $x$ are larger than zero): $$ \alpha=\log_gx, $$ which by the properties of logarithm functions, always exists. Thus given a non $1$ element of $\mathbb{R}^+$, we can always find a scalar, which when multiplied together by vector space scalar multiplication , results in any desired vector, so $\{g\}$ es un set de generación de energía.

También es linealmente independiente, ya que sólo hay un elemento en el mismo, y no es el vector cero, por lo $\{g\}$ es una base.

Answer 2

¡Recuerda lo que significa la suma! Nota:

ps

En cuanto a una base, puede tomar cualquier vector (distinto de cero) (también, ¿qué es$$\alpha(x+y)=x^{\alpha}+y^{\alpha}=x^{\alpha}y^{\alpha}=\alpha x+\alpha y$ en este espacio? Sugerencia: no es$\vec{0}$). Por ejemplo,$0$ puede ser un vector de base. Cada número distinto de cero$2$ puede ser alcanzado por$x$.