Estoy tratando de encontrar el valor de la siguiente suma
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n}\left(\frac{np}{p+n}\right)^{n+1}$$
donde $0<p<1$. Alguna idea? Gracias.
Respuestas
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saeed sani
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Si $0<p<1$$\dfrac{np}{n+p}<\dfrac{np}{n}=p$. Así $$ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}\left(\frac{pn}{p+n}\right)^{n+1}< \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}\left(p^{n+1}\right) = . . .(1) . . .= -p \ln(1-p) $$ (1): Si $0<p<1$, luego $$ \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\left(p^{n+1}\right) = p \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}\left(p^{n}\right) =p\int \sum_{n=1}^{\infty} \ p^{n-1} dp =p\int \frac{1}{1-p} dp = -p\ln(1-p) $$
huggie
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No puedo comentar así que por eso me voy a dar una respuesta, pero ¿no es cierto que $\frac 1n \left( \frac {np}{p+n} \right)^{n+1} = \frac 1n \frac {n^{n+1}p^{n+1}}{(p+n)^{n+1}} = \frac {n^np^{n+1}}{(p+n)^{n+1}} = \left( \frac {n^{-1}p}{p+n} \right)^{n+1}$ así que no podía simplemente suma $\sum _{n=1}^{\infty } \left( \frac {n^{-1}p}{p+n} \right)^{n+1}$ $\frac {a}{1-r}$ $a = \left( \frac {p}{p+n} \right)^2$ $r = \frac {n^{-1}p}{p+n}$ que los rendimientos de $\sum _{n=1}^{\infty } \left( \frac {n^{-1}p}{p+n} \right)^{n+1} = \frac {\left( \frac {p}{p+n} \right)^2}{1-\frac {n^{-1}p}{p+n}} = \frac{p^2}{(p+n)^2} \frac {p+n}{p+n- n^{-1}p}$? o he perdido de algo? espero que ayude.
