¿Cuál es el valor de $\aleph_1^{\aleph_0}$ ?

Question

¿Hay alguna manera de calcular el valor de $\aleph_1^{\aleph_0}$ ?

Answer 1

Tenemos $2 \le \aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$ Así que $2^{\aleph_0}\le \aleph_1^{\aleph_0}\le(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}$ . Pero $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0}=2^{\aleph_0}$ Así que $2^{\aleph_0}\le \aleph_1^{\aleph_0}\le2^{\aleph_0}$ . Por lo tanto, $\aleph_1^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ .

El mismo argumento demuestra que $\lambda^\kappa=2^\kappa$ siempre que $\aleph_0 \le \kappa$ y $2 \le \lambda \le 2^\kappa$ .