$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continuo y positivo. Mostrar $\lim\limits_{t\to 0^+} \frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} xf(x)dx =f(0)$

Question

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continuo y positivo. Mostrar$$\lim_{t\to 0^+} \frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} xf(x)dx =f(0)$ $

$f$ es continuo así que$\forall \epsilon >0\,, \exists \delta > 0, |x| < \delta \implies |f(x) -f(0)| < \epsilon$ Y,$f$ es continuo en$[t,t+t^2]$ así$\exists M>0, |f(x)| < M, x \in [t,t+t^2] $

Como$f$ es positivo, no puedo wlog tomar$f(0)=0$.

He intentado dos enfoques:

1)$\bigg | \frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} xf(x) - f(0) dx \bigg|$

2)$\bigg | \frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} xf(x) dx \bigg| = \bigg | \frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} xf(x)dx - \frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} xf(0)dx + \frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} xf(0)dx \bigg|$

El primero parece fallar porque no puedo acceder al$x(f(x)-f(0))$ y el segundo parece fallar porque no parece llevarme a una situación en la que tengo$f(0) + \epsilon$ restante.

Answer 1

Denota$\alpha_{t}$ y$\beta_{t}$ ser tal que$f(\alpha_{t})=\min_{x\in[t,t+t^{2}]}f(x)$, y$f(\beta_{t})=\max_{x\in[t,t+t^{2}]}f(x)$, luego$xf(\alpha_{t})\leq xf(x)\leq xf(\beta_{t})$ en$[t,t+t^{2}]$. Tomando integral cada lado con cociente a$t^{3}$, se encuentra \begin{align*} \dfrac{1}{t^{3}}\int_{t}^{t+t^{2}}xdx=\dfrac{1}{2}t+1\rightarrow 1 \end {align *} como$t\rightarrow 0^{+}$. No fue $f(\alpha_{t}),f(\beta_{t})\rightarrow f(0)$.

Answer 2

Observa que

$$ \frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} xf(0) = (1+\frac{t}2)f(0)$$ Asumir $$|f(x)-f(0)|\le \varepsilon~~~~for ~~~~0<x<\delta$$

A continuación, tome $0<t<\min(\varepsilon, \frac{\delta}{1+\varepsilon})~~~$ $0<t<t+t^2\le t(1+\varepsilon)<\delta$ thefore,

$$\color{blue}{|f(x)-f(0)|\le \varepsilon~~~~for ~~~~ t<x<t+t^2<\delta}$$ De donde,

$$\bigg |\frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} xf(x)dx-f(0) \bigg|\\= \bigg |\frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} x\bigg(f(x)-f(0)\bigg) dx+\frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} xf(0)dx -f(0) \bigg|\\=\bigg |\frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} x\bigg(f(x)-f(0)\bigg) dx+\frac{t}{2} f(0) \bigg| \\\le \frac{1}{t^3} \int_t^{t+t^2} x|f(x)-f(0)| dx + \bigg|\frac{t}{2} f(0) \bigg|< \varepsilon (1+\frac{t}2)+\bigg|\frac{t}{2} f(0) \bigg| <\varepsilon (1+\frac{\varepsilon}2)+\bigg|\frac{\varepsilon}{2} f(0) \bigg| \to0$$

Answer 3

Sugerencia: $$ \ frac1 {t ^ 3} \ int_t ^ {t + t ^ 2} x \, dx = \ frac1 {2t ^ 3} ((t + t ^ 2) ^ 2-t ^ 2) = 1 + \ frac t2,$$so $ $ f (0) - \ frac1 {t ^ 3} \ int_t ^ {t + t ^ 2} xf (x) \, dx = -t \ frac {f (0) } {2} + \ frac1 {t ^ 3} \ int_ {t} ^ {t + t ^ 2} x (f (0) -f (x)) \, dx. $$

Answer 4

Aquí hay un enfoque más simple y directo.

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Usamos el teorema de valor medio generalizado para integrales para obtener$$\int_{t}^{t+t^2}xf(x)\,dx=f(c)\int_{t}^{t+t^2}x\,dx=f(c)(t^3+t^4/2)$$ for some $ c \ en [t, t + t ^ 2]$ and then letting $ t \ a 0 ^ {+}$ we see that $ c \ a 0$ and thus by continuity we have the desired limit as $ f (0)$. Note that we only need continuity of $ f$ and not necessarily $ f $ para ser positivo.