$\int_a^b\frac{d}{dx}f(x,y)dy$ versus$\int_a^b\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)dy$, ¿cuál es el correcto?

Question

Para un dos-la función de variable $f$, símbolo de abajo es técnicamente correcta?

$$ \int_a^b\frac{d}{dx}f(x,y)dy ~~~~~~~ \text{versus} ~~~~~~~ \int_a^b\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)dy$$

La primera o la segunda? O ambos? Cómo acerca de $\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dy$?

Observe que el punto aquí es que para dos variables de la función, no $d/dx$? Debemos usar $\partial/\partial x$? Usted puede decir, no hay una regla que cuando se ocupan de variables de la función, el uso de $\partial$. Sin embargo, observe que escribiría $\frac{df(x,3)}{dx}$ en lugar de $\frac{\partial f(x,3)}{\partial x}$. Aquí $f$ sí, es un dos-la función de variable, pero no estamos relativas a $f$ sí, pero la expresión de $f(x,3)$ (al igual que usted debe haber visto algo como $\frac{d(\sin x+x^2)}{dx}$, imagino que es el caso de que el nominatior $(\sin x+x^2)$ se sustituye por la expresión $f(x,3)$). Así que la regla de que "cuando se trate de variables de la función, el uso de $\partial$" no tiene sentido.

Y por otro lado, cuando en el INTERIOR de la integral de la señal, la variable $y$ es algo que ya sirvió como una constante (decimos que la variable está encuadernada), a la espera de integrarse después de que el integrando es completamente evaluados (como en la $\sum_{i=1}^{10}i^2$, la variable $i$ dentro suma está encuadernada). Así, todas las historias ocurren en el interior del signo integral, es sólo de una variable $x$. De esta manera, debemos escribir $\int_a^b\frac{d}{dx}f(x,y)dy$?

PS: Siéntase libre de comentar o responder. Cualquier consejo o experiencia es bienvenida. :)

Answer 1

Para $f : \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} : (x,y) \mapsto f(x,y)$ realmente no importa si escribimos $\displaystyle \frac{df}{dx}$ o $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ por la derivada con respecto al $x$. Se trata de una cuestión de énfasis. Usualmente escribimos $\displaystyle \frac{df}{dx}$ enfatizar que estamos derivar una función de una variable, es decir,$x$, e $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ enfatizar que estamos derivar una función de más de una variable con respecto a la variable denominada $x$. Es una cuestión de hacer más fácil para que el lector sepa lo que está pasando. Es mucho más común el uso de $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}$ en este caso.

Ahora, con respecto a los aspectos técnicos, $\displaystyle \int_a^b\frac{d}{dx}f(x,y)\ dy$ $\displaystyle \int_a^b\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\ dy$ $\displaystyle \int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\ dy$ no son correctos o incorrectos, pero inexacta.

Derivados de actos en funciones, no en puntos. Que es $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}$ actúa sobre la función de $f$ y no en el punto de $f(x,y)$. Además, se deriva la función de $f$ en el punto de $(p,q)$ con respecto al $x$, no se derivan de la función de $f$ en el punto de $(x,y)$ con respecto al $x$. Que es

$$ \frac{\partial f}{\partial x} : \Omega \to \mathbb{R} : (p,q) \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(p,q) $$

La última, $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$, crea ambigüedad innecesaria. A ver, establezca $x = 1$; a continuación, $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial 1}(1,y)$ o $\displaystyle = \frac{\partial f}{\partial x}(1,y)$ o $\displaystyle = \frac{\partial f}{\partial 1}(x,y)$?

Therefere, acordando queremos evitar la ambigüedad que nos iba a escribir

$$ \int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(p,q)\ dq $$

Sin embargo, es también razonable para escribir

$$ \int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(p,y)\ dy $$

debido a que la derivada no son vinculantes a la variable $y$ en cualquier forma.

Déjeme saber si usted necesita más aclaraciones.

Answer 2

El integrando es una función de dos variables,$x$ y$y$, por lo tanto, use la notación de derivada parcial dentro del signo integral.

$$\int\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\,dy$ $ o$$\int\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\,dy$ $ están bien.

La integral completa es una función de una variable,$x$, por lo tanto, use la notación derivada total fuera del signo integral.

ps

Answer 3

En mi experiencia, la mayoría de la notación habitual (y probablemente la más correcta) es :

$$\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dy$$

Para justificar mi diciendo :

$(1)$ : $f(x,y)$ es una $2$-variable de la función en $\mathbb R^2$ y, por tanto, la derivada respecto a una de sus variables (vamos a decir $x$) se escribe como :

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$$

$(2)$ : Observar qué variables/constantes etc. la derivada parcial se calcula sobre, uno escribe en un paréntesis tras la notación se mencionó anteriormente, por lo que la derivada parcial de la función de $f(x,y)$ con respecto al $x$ que involucran las variables $(x,y)$ (sin que se especifica a través de ciertos $x_0,y_0$) es :

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$$

Ya que hemos estado discutiendo cuando se conoce el número de variables de la función de $f$, voy a tratar de aclarar :

Si en su texto, el ejercicio o la solución, se ha utilizado la siguiente notación :

$$f(x,y) \space \text{such that} \space f : D \to \mathbb R^2 \space\text{where} \space D \subset \mathbb R^2 $$

entonces eso significa que $f$ es estrictamente un $2$-función de variable, ya que por ejemplo, la escritura de $f$ en la forma :

$$f(x,y,0)$$

es equivocado. Por qué ? Porque el dominio que $f$ es es el conjunto $D$ que es un subconjunto de a $\mathbb R^2$. Esto significa que el elemento $(0,0,0)$ no puede ser incluido en $D$ debido a que se establece en $2$ dimensiones.

Si no se da tal completar la notación (lo cual es imposible en los libros y en los ejercicios, ya que las funciones son casi siempre define ante todo como $f : A \to B$ y, a continuación, como $f(x,\dots)$), entonces se puede argumentar acerca de la notación. Aún así, la más conveniente y la forma habitual de escribir es el mencionado anteriormente. Si bien, estás dado una notación como se ha mencionado, entonces no hay duda acerca de las variables-dimensiones de $f$.

Answer 4

La función es multivariada de todos modos, por lo tanto, el símbolo $$ \ frac {\ partial} {\ partial x} f (x, y) $$ es más claro que el otro.