Si $f(x) $ Es una función continua $ \forall\ x \in R$ y satisface $x^2+x \{f(x)\} - 3 = \sqrt{3} \ f(x) \ \forall\ x \in R$
Encuentre $f(\sqrt{3})$ .
$\{ t\}$ es la parte fraccionaria de $t$ .
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Mi intento: He sustituido $\sqrt{3}$ en eso y sólo podía concluir que $0 \leq f(\sqrt{3}) < 1$
Sustituyendo $\sqrt{3}$ allí, se obtiene que $f(x) - \{f(x)\} = 0$ lo que implica que $0 \leq a < 1$ como concluyó.
Supongamos ahora que $f(\sqrt{3}) = a, 0 < a < 1$ . Entonces, por continuidad, $f$ satisface la ecuación $x^2 + xf(x) - 3 = \sqrt{3} f(x)$ en un barrio de $x = \sqrt{3}$ para que $$f(x) = \frac{x^2 - 3}{\sqrt{3} - x} = -(\sqrt{3} + x),$$
lo que implica que $f(\sqrt{3}) = - 2\sqrt{3} < 0$ (una contradicción porque $a > 0$ ). Por lo tanto, debemos tener $f(\sqrt{3}) =0$ .
@samjoe: Lo siento, tienes razón. Los signos se me revolvieron en la cabeza. He editado la respuesta para reflejar esto.
No hay problema, sólo una errata. Pero puede decirme cómo concluimos $f(\sqrt 3) = 0$ ¿al final?
Sabemos que $0 \leq f(\sqrt{3}) < 1$ y concluimos que no podemos tener $f(\sqrt{3}) > 0$ (porque llegamos a una contradicción). Por lo tanto, debemos tener $f(\sqrt{3}) = 0$ .
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¿Cuál es la definición de parte fraccionaria aquí?
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@JonatanB.Bastos, si $0\le a\lt1$ entonces el integral parte de $a$ es $0$ pero el fraccionado parte es $a$ .
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Creo que la parte fraccionaria es cualquier cosa a la derecha del decimal no la parte entera
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@samjoe Pero eso no aprovecha la continuidad de $f$ que parece importante en este caso.
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@SatishRamanathan, no es que importe para el problema aquí, pero ¿cuál dirías que es la parte fraccionaria de $-0.25$ ?
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Estoy recibiendo una respuesta extraña utilizando $\lim_{x\to \sqrt 3}$ es decir $-2\sqrt{3}$
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Calcula $f(0)=-\sqrt{3}$ . Observe que $f$ es ilimitado desde arriba, ya que $x^2\to+\infty$ como $x\to+\infty$ . Por lo tanto, tiene algún cero para $x>0$ . Sea $x_0$ sea tal que $f(x_0)=0$ . Entonces $x_0^2-3=0$ . Por lo tanto, $x_0=\sqrt{3}$ . Así que, $f(\sqrt{3})=0$ .
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@despaigne, creo que deberías añadir tu comentario como otra respuesta, ya que ilustra una forma muy interesante de enfocar el problema. Una pregunta: ¿crees que podemos hacer que tu planteamiento funcione si suponemos que la ecuación se mantiene sólo en una vecindad de $\sqrt{3}$ (y no para cada $x \in \mathbb{R})$ ?
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@BarryCipra Mi error, estaba pensando en la función del suelo por alguna razón.