¿Cómo se ajusta la velocidad de la nave espacial?

Question

Una nave espacial se desplaza por el espacio bidimensional mediante una serie de saltos. Cada salto consiste en girar a la derecha y volar hacia delante. El ángulo de rotación es siempre el mismo y la distancia recorrida hacia adelante es siempre la misma. Por lo tanto, la nave está volando en círculos alrededor de algún punto.

Hay un punto especial marcado en el espacio. La pregunta es: con un ángulo dado, ¿qué distancia debe recorrer la nave con cada salto, de tal manera que el círculo que está volando cruce el punto? (la nave no tiene que llegar necesariamente al punto). ¿Hay una sola solución?

La nave puede girar a la izquierda o a la derecha, pero esta decisión debe tomarse antes de empezar a volar, después siempre gira hacia el mismo lado en cada salto.

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Resultado

Solo por diversión, este es mi algoritmo de navegación de barcos, que fue desarrollado con la ayuda de amd:

Answer 1

Suponiendo que el rumbo inicial del barco es hacia arriba (en el positivo $y$ dirección) y que $\theta$ aumenta en el sentido de las agujas del reloj, que $d$ sea la distancia de salto. Por ejemplo, podemos suponer que la nave comienza en el origen. Sus dos primeros saltos le llevarán a $(d\sin\theta,d\cos\theta)$ y $(d\sin\theta+d\sin2\theta,d\cos\theta+d\cos2\theta)$ . Ahora tenemos tres puntos en el círculo implícito y podemos escribir inmediatamente su ecuación en la forma $$\det\begin{bmatrix}x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix} = 0,$$ específicamente, $$\det\begin{bmatrix}x^2+y^2 & x & y & 1 \\ 0&0&0&1 \\ d^2 & d\sin\theta & d\cos\theta & 1 \\ d^2(\cos\theta+\cos2\theta)^2+d^2(\sin\theta+\sin2\theta)^2 & d(\sin\theta+\sin2\theta) & d(\cos\theta+\cos2\theta) & 1 \end{bmatrix} = 0$$ que se simplifica a $$x^2+y^2-\left(d\cot\frac\theta2\right)x+dy = 0.\tag{*}$$ (Resta la tercera fila de la cuarta para simplificar el cálculo de este determinante). Resolviendo esto para $d$ produce $${x^2+y^2 \over x\cot\frac\theta2-y}.$$ Si $d\lt0$ es decir, si $x\cot\frac\theta2\lt y$ Esto significa que el círculo tendría que ser atravesado al revés: el punto de destino no puede ser alcanzado con la velocidad de giro dada.

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* Esta ecuación equivale a $\left(x-\frac12d\cot{\frac\theta2}\right)^2 + \left(y+\frac d2\right)^2 = \left({d \over 2\sin{\frac\theta2}}\right)^2 = {d^2\over 2-2\cos\theta}$ que podría ser útil si necesita saber más sobre el círculo.