¿Cómo encontrar valores de$f(m,k)=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(mn-k)^2}{(mn-k+1)(mn-k-1)}\right]$?

Question

$f(2,0)=\frac{\pi}{2}$ es un resultado muy popular, pero hay muchos, no incluye$\pi$, por ejemplo$$f(4,2)=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(4n-2)^2}{(4n-1)(4n-3)}\right]=\sqrt{2}$ $$$f(6,3)=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(6n-3)^2}{(6n-2)(6n-4)}\right]=\frac{2}{\sqrt{3}}$ $$$f(6,4)=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(6n-4)^2}{(6n-3)(6n-5)}\right]=\frac{3^{1/2}}{2^{1/3}}$ $ Cómo encontrar valores de$f(m,k)$ para todos$m>1$ y$(m-1)>k\geqslant0$?

Answer 1

Sugerencia. Uno puede recordar que $$ \prod_{n=1}^{N} \left(1 + \frac{z}{n+a}\right)=\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(a+N+z+1)}{\Gamma(a+N+1)\Gamma(a+z+1)} \tag1 $$ where $\Gamma$ es la función gamma de Euler, entonces se puede escribir $$ \prod\limits_{n=1}^{N}\left[\frac{(mn-k)^2}{(mn-k+1)(mn-k-1)}\right]=\left[\prod\limits_{n=1}^{N}\left(1 + \frac{1/m}{n-k/m}\right)\left(1 - \frac{1/m}{n-k/m}\right)\right)^{-1} \tag2 $$ y se aplican $(1)$$(2)$, dejando $N \to \infty$.

Edit. Los pasos anteriores dan

$$ \prod\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(mn-k)^2}{(mn-k+1)(mn-k-1)}\right]=\frac{\Gamma \left(1-\frac{k+1}{m}\right) \Gamma \left(1-\frac{k-1}{m}\right)}{\Gamma \left(1-\frac{k}{m}\right)^2} $$

a partir de la cual se deduce muchos casos particulares.