Suma de una serie de integraciones

Question

Si$$I = \sum_{k=1}^{98} \int_k^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)}dx,$ $, ¿qué opción (es) son correctas? $$ (a) \, I> \ ln 99 \\ (b) \, I \ frac {49} {50} $$ Las opciones correctas son (b) y (d).

Mi intento: traté de simplificar la integración y obtuve$(k+1) \ln\bigg|\frac{(k+1)^2}{k(k+2)}\bigg|$. Luego la expansión viene como$2 \ln\bigg|\frac{4}{3}\bigg| + 3 \ln\bigg|\frac{9}{8}\bigg| + ...+ 99 \ln\bigg|\frac{99^2}{9800}\bigg|$. Por favor, ayúdame a llegar a la solución desde este paso.

Answer 1

Tenga en cuenta que, dado que$k\le x\le k+1$, entonces$\frac1{x+1}\le\frac{k+1}{x(x+1)}\le\frac1x$. Por lo tanto, vemos que

ps

A continuación, al observar$$\log\left(\frac{k+2}{k+1}\right)<\int_k^{k+1}\frac{k+1}{x(x+1)}\,dx< \log\left(\frac{k+1}k\right)$ y$\log\left(\frac{k+2}{k+1}\right)=\log(k+2)-\log(k+1)$, al sumar las series telescópicas encontramos

ps

Finalmente, dado que$\log\left(\frac{k+1}k\right)=\log(k+1)-\log(k)$ llegamos a

ps

¡como se esperaba!