La distributividad de la categórica del producto y de la suma

Question

Deje $\textbf{C}$ ser una categoría con productos y co-productos.

Si $\textbf{C}$ $\textbf{Set}$ o $\textbf{Top}$ estoy muy seguro de que la siguiente "ley distributiva" se tiene: para todos $X,Y,Z \in \operatorname{ob}(\textbf{C})$, $$(X \sqcup Y) \times Z \cong (X \times Z) \sqcup (Y \times Z).$$

Hace (o una ley similar) mantenga pulsado para cualquier categoría de $\textbf{C}$ o no?

Answer 1

Usted siempre tiene un canónica de flecha $(X\times Z)\sqcup (Y\times Z) \to (X\sqcup Y)\times Z$, obtenido a partir de las propiedades universales de $\sqcup$ $\times$ (hay un canónica de flecha $X\times Z\to X\to X\sqcup Y$ y un canónica de flecha $X\times Z\to Z$, por lo que hay un canónica de flecha $X\times Z\to (X\sqcup Y)\times Z$, y del mismo modo para $Y\times Z$). Pero esta flecha no es un isomorfismo en general.

Para un ejemplo muy simple, considerar el entramado M3, considerado como un poset (una categoría con una flecha entre dos objetos). Aquí está una foto:

En una celosía, $\times$$\min$$\sqcup$$\max$, por lo que tenemos $(x\sqcup y)\times z = 1\times z = z$, pero $(x\times z)\sqcup (y\times z) = 0\sqcup 0 = 0$.

En realidad, esto es (casi) universal obstrucción: sucede que una celosía es distributivo si y sólo si no contiene sublattice isomorfo a M3 o N5. N5 es otra red que se parece a esto:

He aquí otro ejemplo, esta vez en una concreta categoría: distributividad falla en la categoría de abelian grupos. En esa categoría, $\times = \sqcup = \oplus$, por lo que tenemos $(X\sqcup Y)\times Z \cong X\oplus Y \oplus Z$, pero $(X\times Z)\sqcup (Y\times Z) \cong X\oplus Y\oplus Z^2$.

Answer 2

Un simple contraejemplo es $\text{Set}^{op}$. Pidiendo $\text{Set}^{op}$ a ser distributiva significa pedir co-productos para distribuir a través de productos en $\text{Set}$, que es fácil de descartar para finito de conjuntos de uso de la cardinalidad. Otro sencillo contraejemplo es $\text{Vect}$, donde los productos y co-productos de acuerdo, y donde se vuelve fácil descartar para un finito-dimensional espacios vectoriales usando dimensión. (Sin embargo, es cierto que el tensor de productos de distribuir más directa sumas; $\text{Vect}$ no es cartesiana cerrada, pero es la mejor cosa siguiente, cerrado monoidal.)

Un ejemplo interesante es $\text{CRing}^{op}$, la categoría de afín esquemas. Es un buen ejercicio para demostrar que esta categoría es distributiva, a pesar de no ser cartesiana cerrada ni (que yo sepa) de admitir a un conservador functor a $\text{Set}$ conservar los productos y co-productos (tomando el Zariski espectro no es conservador y no conservar los productos).

Answer 3

Cualquier categoría $\mathcal{K}$ tener un functor $F : \mathcal{K} \to \text{Set}$ que es conservador, conserva finito y productos finitos de co-productos tiene la propiedad requerida.

Esta propiedad es muy común, de hecho, y bastante presenta especialmente el functor es el olvido.