La irracionalidad de $\pi^2$ $\pi^3$

Question

Me pregunto si hay algún libro y/o artículo que usted puede recomendar en el tema de "la Irracionalidad de la $\pi^2$ $\pi^3$" para mí estudiar. En caso de que usted es curioso acerca de por qué pido a estos exponentes, es porque este es un proyecto que mi profesor me dio para estudiar y luego lo presentan a la clase lo que tengo en este tema

PS: yo no entiendo por qué la gente vota por mi post sea cerrado

Answer 1

Las siguientes referencias son en su mayoría específicos a su pregunta:

[1] Adrien-Marie Legendre, Éléments de Géométrie, avec des notas, Firmin Didot (París), 1794, xii + 334 páginas.

Una prueba de la irracionalidad de la ${\pi}^2$ por el uso de fracciones continuas es dado en p. 304.

[2] James Whitbread Lee Glaisher, En Lambert prueba de la irracionalidad de la $\pi,$ y en la irracionalidad de ciertas cantidades, pp 12-16 en los Avisos y los Resúmenes de diversas Comunicaciones a las Secciones, Informe de la Cuadragésima Primera Reunión de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia (de agosto de 1871, Edimburgo), John Murray (Londres), 1872.

El papel ".páginas en pdf" 341-345 de esta búsqueda de libros de google elemento. El tercio superior de la p. 14 discute Legendre prueba de que el ${\pi}^2$ es irracional.

[3] Charles Hermite, Extrait d'une lettre de D. Ch. Hermite à Señor Borchardt [Extracto de una carta del Señor Ch. De Hermite para el Señor Borchardt], Journal für die reine und angewandte Mathematik 76 (1873), pp 342-344.

Hermite muestra ${\pi}^2$ es irracional por un método que evita el uso de fracciones continuas --- un método que muy pronto después llevó a su prueba de que $e$ es trascendental.

[4] Alfred Pringsheim, Ueber die ersten beweise der irrationalität von $e$ und $\pi$ [En la primera prueba de la irracionalidad de $e$$\pi$], Sitzungsberichte der Mathematisch-Physikalischen Classe der K. B. Akademie der Wissenschaften zu München 28 (1898), 325-337.

Si usted puede leer en alemán (yo no puedo), creo que esto podría ser de utilidad. Lambert prueba de que el ${\pi}^2$ es irracional es mencionado en la p. 326 (línea 9).

[5] Sylvain Wachs, Contribución à l'étude de l''irrationalité de ciertas nombres [Contribución al estudio de la irracionalidad de ciertos números], Boletín de la des Sciences Mathématiques (2) 73 (1949), pp 77-95.

De MR0033299 (11,418 a) revisión por Jan Popkin: considerando una clase más grande de similar integrales el autor tiene la intención de obtener más resultados generales. Él da a las aplicaciones mostrando de esta manera la irracionalidad de números tales como ${\pi}^2,$ $\log A$ $(A \neq 1),$ $e^A,$ donde $A$ denota un entero positivo. [El documento contiene algunas erratas y otros errores, el más grave en la final de § 6, donde la cantidad de $M$ presentó depende de $n.$ En vista de las diversas ponencias dando generalizaciones de Niven del método es tal vez de interés para la observación de que existe una estrecha relación entre este método y las clásicas pruebas de la irracionalidad de la $\pi$ ${\pi}^2$ de Lambert, Hermite y otros. Tome por ejemplo la integral de la $[\cdots]$

[6] Yosikazu Iwamoto, Una prueba de que ${\pi}^2$ es irracional, Revista de la Osaka Instituto de Ciencia y Tecnología. Parte I: las Matemáticas y la Física 1 (1949), pp 147-148.

[7] Ivan Morton Niven, los Números Irracionales, Los Carus Matemática Monografías #11, Asociación Matemática de América, 1956, xii + 164 páginas.

La Alternativa de la prueba del Corolario 2.6 en las páginas 19-21 da una prueba de que ${\pi}^2$ es irracional.

[8] Kustaa Aadolf Inkeri, la irracionalidad de La ${\pi}^2$, Nordisk Matematisk Tidskrift 8 #1 (1960), pp 11-16 y 63.

[9] John Douglas Dixon, $\pi$ no es algebraica de grado uno o dos, American Mathematical Monthly 69 #7 (agosto-septiembre de 1962), pág. 636.

Con respecto a este resultado, consulte la Prueba de $\pi$ no siendo una ecuación cuadrática número irracional.

[10] Theodor Estermann, Un teorema lo que implica la irracionalidad de la ${\pi}^2$, Revista de la Sociedad Matemática de Londres (1) 41 #3 (1966), 415-416.

[11] Jaroslav Hančl, Una simple prueba de la irracionalidad de la ${\pi}^4$, American Mathematical Monthly 93 #5 (Mayo de 1986), pp 374-375.

[12] Darrell Desbrow, Sobre la irracionalidad de ${\pi}^2$, American Mathematical Monthly 97 #10 (diciembre 1990), pp 903-906.

[13] Michael David Spivak, Cálculo, 3ª edición, Publicar o Perecer, 1994, xiv + 670 páginas.

En el Capítulo 16, Teorema 1 (expresado y demostrado en las páginas 323-324) es la irracionalidad de la ${\pi}^2.$ Este mismo resultado, probablemente, aparece en uno o ambos de ediciones anteriores (1967, 1980), pero no he comprobado esto.

[14] Miklós Laczkovich, En Lambert prueba de la irracionalidad de la $\pi$, American Mathematical Monthly 104 #5 (Mayo de 1997), pp 439-443.

Corolario 2 en la parte superior de la p. 441: "${\pi}^2$ es irracional."

[15] Pierre Eymard y Jean-Pierre Lafon, El Número de $\pi$, traducido por Stephen Stewart Wilson, American Mathematical Society, 2004, x + 322 páginas.

La sección 4.2.3 de las páginas 136-137 se titula "Niven prueba de la irracionalidad de la ${\pi}^2$".

[16] Li Zhou y Lubomir de Markov, Recurrente pruebas de la irracionalidad de ciertas trigonométricas valores, American Mathematical Monthly 117 #4 (abril de 2010), 360-362.

(Frase 2 de la ponencia) también se discuten las aplicaciones de la técnica a simple irracionalidad pruebas tales como aquellos para los $\pi,$ ${\pi}^2,$ y ciertos valores de la exponencial y las funciones hiperbólicas.

[17] Timothy W. Jones, Descubriendo y Demostrando que $\pi$ es irracional, American Mathematical Monthly 117 #6 (junio-julio de 2010), pp 553-557.

Niven prueba de la irracionalidad de la ${\pi}^2$ se discute en la página. 556.

[18] Timothy W. Jones, los poderes de La $\pi$ son irracionales, viXra:1102.0058, 19 de octubre de 2010, 17 páginas.

[19] Jürgen Müller y Tom Müller, Niven de la irracionalidad método revisited, manuscrito, sin fecha, de 3 páginas.

(3er párrafo de la nota, en p. 1) En esta nota se toma una nueva mirada al clásico de la analítica de la irracionalidad de las pruebas para ${\pi}^2$ y el de potencias enteras de $e,$, lo que muestra que la aproximación polinomios son generados por un solo integrante de expresión. Nuestro enfoque se hace evidente cómo los polinomios venido a la existencia, por qué tienen coeficientes enteros y que la irracionalidad de las pruebas para ${\pi},$ ${\pi}^2$ y $e^k$ son sólo diferentes casos especiales derivadas de la misma fórmula general.

[20] lhf, prueba Directa de que $\pi$ no es edificable, Matemáticas Intercambio de la Pila, 30 de enero de 2012.

Esto podría ser también de interés.