Esto realmente depende de cómo se defina el logaritmo natural y constante de Euler. Podemos empezar por definir el logaritmo como el área bajo la hipérbola:
Definición: El logaritmo natural es la función de $\log : (0,\infty) \to \mathbb{R}$ definido por la fórmula
$$ \log(x) := \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t. $$
Obviamente, hay otras formas de definir un logaritmo. En el bajo nivel de las clases, por ejemplo, podemos definir los logaritmos como las funciones inversas de las funciones exponenciales. También podemos definir el logaritmo por su poder de expansión de la serie. Sin embargo, esta definición es bastante agradable, y el que yo uso si yo fuera el rey de las matemáticas.
A continuación, me gustaría definir la constante de Euler a través de una alimentación de la serie. El siguiente teorema nos da lo que necesitamos.
Teorema: La función de $\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido por el poder de la serie
$$ \exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$
es analítica en $\mathbb{R}$. A través de término por término de integración, podemos ver que
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \exp(x) = \exp(x).$$
Definir la constante de Euler para ser
$$ \mathrm{e} = \exp(1). $$
También podemos definir la función exponencial a ser la única solución para el problema de valor inicial $u'(t) = u(t)$$u(0) = 1$, sin embargo, existen dudas acerca de si es o no una solución de este tipo, incluso existe para que yo preferiría no tratar. En cualquier caso, el hecho de que $\exp$ es su propia derivada es enormemente importante aquí.
A primera vista, parece que no es $\log$ $\exp$ tienen nada que ver uno con otro. Sin embargo, se puede demostrar que son inversos! En primer lugar, debemos tener en cuenta que $\log$ es monótonamente creciente—como $x$ se hace más grande, y también lo hace $\log(x)$. Pero, a continuación, $\log$ debe ser inyectiva, lo que implica que debe haber una relación inversa. Yo reclamo que $\exp$ es la inversa de a $\log$!
Para ver esto, podemos calcular de la siguiente manera:
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log(\exp(x))
&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{1}^{\exp(x)} \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t \\
&= \frac{1}{\exp(x)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \exp(x) & \tag{FTC and chain rule} \\
&= \frac{\exp(x)}{\exp(x)} & \tag{definition of %#%#%} \\
&= 1.
\end{align}
Ya tenemos $\exp$, podemos integrar en cada lado para obtener
$(\log(\exp(x))' = 1$$
para algunas constantes $$ \log(\exp(x)) = x + C $. Pero cuando $C$, obtenemos
$x=0$$
Pero, a continuación,$$ C = \log(\exp(0)) = \log(1) = \int_{1}^{1} \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t = 0. $, lo que implica que $\log(\exp(x)) = x$ es la inversa de a $\log$, como se reivindica.
Por último, ¿por qué no $\exp$? Esto se desprende de la labor realizada anteriormente. Deje $\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = 1$ denotar el valor de esta integral; es decir, definir
$I$$
Desde $$ I := \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \log(\mathrm{e}). $ $\log$ son inversos, se sigue que
$\exp$$
Pero hemos definido $$ \exp(I) = \mathrm{e}. $$\mathrm{e}$, e $\exp(1)$ es inyectiva, por lo tanto
$\exp$$
que es lo que queríamos demostrar.
