¿Hasta qué punto debe un "a prueba de ir de una forma determinada"

Question

Hay una serie de teoremas que tienen una multitud de pruebas, sin embargo, todas las pruebas a las que parece que en última instancia se basan en las mismas ideas fundamentales. Por ejemplo, me encontré con este blog recientemente, donde Terrence Tao observa que el punto fijo de Brouwer es el teorema de este personaje. Citar:

"Este teorema tiene muchas pruebas, la mayoría de los cuales giran (explícita o implícitamente) en torno a la noción de que el grado de un mapa continuo $f: S^{n-1} \rightarrow S^{n-1}$ de la unidad de la esfera..."

(Hay una gran cantidad de teoremas de la topología algebraica que parecen ir en este sentido: Hay muchas formas de demostrar algo utilizando topología algebraica, pero parece que no puede probarlo sin la topología algebraica.)

(Otro ejemplo es el análisis complejo: Hay algunas integrales que pueden ser evaluados usando una variedad de contornos, pero a evaluar, con carácter puramente real de los métodos es muy difícil.)

Por otro lado, hay algunos teoremas que parecen tener muchas pruebas que son muy profundamente diferentes. Un antiguo profesor mío, comentó que el teorema fundamental del álgebra fue de este tipo. Él se preguntó si hay algún sentido en el que las muchas pruebas fueron "el mismo" a través de algún tipo de "homotopy de pruebas".

Mi pregunta es si hay algún sentido en el que estos informal se puedan realizar observaciones precisas:

• Hay un sentido importante en el cual una prueba debe usar una cierta idea?
• Hay maneras significativas de decir que dos pruebas son "esencialmente el mismo" o "esencia"?

Soy consciente de que hay al menos una respuesta afirmativa a esta pregunta: Muchos teoremas pueden ser probadas para confiar en el axioma de elección. Quizás hay alguna manera similar a la que se diferencian de otros tipos de pruebas? I. e. si usted puede encontrar un conjunto reducido de axiomas tales que una prueba tiene sentido, pero el otro no, entonces se puede decir que las pruebas son esencialmente diferentes. Estoy más allá de mi ámbito de conocimiento aquí, pero espero que mi idea es suficientemente clara.

EDIT: Después de este anuncio, me encontré con esta pregunta en mathoverflow, que bastante responde a la pregunta. Todavía estoy curioso acerca de los ejemplos concretos que he mencionado anteriormente (Brouwer teorema de punto fijo, las integrales de contorno, etc.), así que el comentario acerca de que esas serían bienvenidos.

Answer 1

Esto podría ser tratada como un comentario muy largo y no necesariamente como una pura respuesta!

Bien, tan lejos como pruebas de que se trate, en la lógica de que hay una noción de deducción que la definición formal tiene como sigue:

Deducción: Vamos a $\phi$ ser un teorema de un conjunto $\Gamma$. A continuación, una deducción de $\phi$ $\Gamma$ es un finito secuencias de tipos lógicos $\langle a_1,\dots,a_n\rangle$tal que $a_n=\phi$, y para cada $k\leq n$ ya sea:

1. $a_k$ pertenece a $\Gamma\cup\mathrm{A}$ o
2. $a_k$ se puede deducir de algunos de los tipos anteriores $a_i,a_j$, $i,j<k$ con una de las reglas de inferencia (por ejemplo, el modus ponens).

donde $\mathrm{A}$ es un conjunto de Axiomas lógicos que hemos predefinido.

Ahora, supongamos que tenemos un teorema $\phi$ y dos deducciones ("pruebas") de la misma, que $D_1=\langle a_1,\dots,a_n\rangle$$D_2=\langle b_1,\dots,b_m\rangle$. Entonces, se podría decir que estas dos pruebas son esencialmente diferentes iff $$\boxed{a_i\neq b_j\text{ for every $a_i,b_j\en\Gamma$ with $i=1,2,\dots,n$ and $j=1,2,\dots,m$}}$$ De esa manera, dos pruebas que no use los mismos teoremas para demostrar el teorema de $\phi$ puede considerarse esencialmente diferentes.

Sin embargo, podría ser más eficientes maneras de definir la diferencia esencial de las pruebas no puedo pensar ahora mismo...

Espero que esto añade algo útil! :)

Answer 2

Esta es una profunda pregunta. En la práctica, mi criterio para cuando dos pruebas son "esencialmente el mismo" o no se es si se generalizan en la misma forma. Por ejemplo, en este blog doy las cinco pruebas de que la característica de Euler de un cerrado orientable de la superficie es aún, que yo diría son todos diferentes, ya que generalizar de manera diferente (en realidad esa fue la motivación para escribir el post):

1. Prueba 1 utiliza la dualidad de Poincaré para mostrar que la característica de Euler de un cerrado orientable colector que es un límite que es aún.
2. Prueba 2 utiliza la dualidad de Poincaré, pero de una manera diferente, para mostrar que el medio Betti número de cerrado orientable colector de dimensión $2 \bmod 4$ es incluso. A diferencia de la Prueba 1, se utiliza el hecho de que en la dimensión $2 \bmod 4$ la dualidad de Poincaré da el medio cohomology una estructura simpléctica.
3. Prueba 3 usos característicos de las clases para mostrar que el Stiefel-Whitney clase $w_2$ se desvanece. Esta es otra de las aplicaciones de la dualidad de Poincaré. Esencialmente el mismo cálculo muestra que $w_2$ también se desvanece sobre cerrado orientable $3$-colectores, que ya no es una declaración acerca de su característica de Euler.
4. Prueba 4 utiliza el hecho de que se cerró orientable superficies admitir estructuras complejas haciéndolos compacto Kahler colectores cuya cohomologies admitir descomposición de Hodge. Esta es una verdadera prueba diferentes de las demás, ya que por un lado sólo se generaliza a otros compacto Kahler colectores y por otro lado se demuestra una fuerte declaración sobre ellos (que todos los de su extraña Betti números son aún).
5. Prueba 5 usa de nuevo el hecho de que se cerró orientable superficies admitir estructuras complejas, y se aplica la Hirzebruch-Riemann-Roch teorema. Esto es de nuevo una característica de la clase de cálculo como en la Prueba 3, pero aplicado a las clases de Chern en lugar de Stiefel-Whitney clases. En el siguiente complejo de dimensión de este argumento se generaliza a Noether la fórmula, que ninguna de las otras pruebas puede tocar.

Por supuesto, el "cero de la prueba" es sólo un cómputo de los números de Betti y ver que no son iguales a $1, 2g, 1$, pero la pregunta es si existe una razón a priori para el medio Betti número había terminan siendo incluso. Cada prueba da una razón diferente (yo diría), aunque, sin duda.

Answer 3

Como Qiaochu Yuan dice al inicio de su respuesta, esta es una profunda pregunta: a continuación se da una muy sofisticado conjunto de ejemplos en los que hemos curiosamente pruebas diferentes motivados por más diferentes ideas (que generalizar de manera diferente).

Podría ser de ayuda, aunque también tienen algunos mucho más simples ejemplos del mismo fenómeno (por las cuestiones conceptuales acerca de la similitud/diferencia/la equivalencia de la prueba-ideas surgen, incluso en casos sencillos). Y la más simple interesante ejemplo que conozco es el caso de pruebas diferentes que hay un número infinito de números primos.

En el primer capítulo de su famosa, maravillosamente accesible, las Pruebas del Libro, Aigner y Ziegler ofrecer no menos de seis pruebas de este clásico de resultados, comenzando con Euclides y como más tarde las pruebas usando el análisis o la topología. Yo no puede mejorar en su exposición aquí, y que sólo cuatro páginas. Buscar: un buen ejemplo para pensar ... sobre todo en este caso, ciertamente, no parece que "todas las pruebas a las que parece que en última instancia se basan en las mismas ideas fundamentales", incluso en la reflexión.