Como a menudo cuando se trata con poleas/vector de paquetes, este es un proceso de dos pasos. Definir primero los mapas, a continuación, comprobar sus propiedades (secuencia exacta/isomorphisms...) El primer paso de las necesidades de una construcción a nivel mundial, para la segunda, vamos a ser capaces de trabajar de forma local.
Paso 1 : esto es difícil de definir correctamente un mapa de $\bigwedge^p F\rightarrow \bigwedge^{p-1}E\otimes L$ ya que no disponemos de mapas de $F\rightarrow E$, por lo que vamos a proceder de manera diferente. Deje $C$ ser el cokernel de $\bigwedge^pE\rightarrow\bigwedge^pF$. Tensor de la secuencia exacta $0\rightarrow E\rightarrow F\rightarrow L\rightarrow 0$ $\bigwedge^{p-1}E$ y la construcción del diagrama :
$$
\requieren{AMScd}
\begin{CD}
0@>>>\bigwedge^{p-1}E\otimes E@>>>\bigwedge^{p-1}E\otimes F@>>>\bigwedge^{p-1}E\otimes L@>>>0\\
{}@VVV@VVV\\
0@>>>\bigwedge^pE@>>>\bigwedge^pF@>>>C@>>>0
\end{CD}
$$
donde el primer vertical mapa es el producto habitual en el exterior de álgebra $$(e_1\wedge...\wedge e_{p-1})\otimes e_p\mapsto e_1\wedge...\wedge e_{p-1}\wedge e_p $$ and the second is the composition of $\bigwedge^{p-1}E\otimes F\rightarrow\bigwedge^{p-1} F\otimes F\rightarrow F$, in other words : $$(e_1\wedge...\wedge e_{p-1})\otimes f_p\mapsto i(e_1)\wedge...\wedge i(e_{p-1})\wedge f_p$$
Claramente, la plaza es conmutativa, por lo tanto tenemos una inducir mapa de $\bigwedge^{p-1}E\otimes L\longrightarrow C$.
Paso 2 : vamos a mostrar que este mapa es un isomorfismo. Esto es suficiente para trabajar de forma local. En este caso, podemos suponer que las $F\simeq E\oplus L$, $E$ $L$ son gratis con base $e_1,...,e_n$$l$. Nos han inducido la base para $F$ (escrito por abuso de notaciones $(e_1,...,e_n,l)$), base de toda la potencia exterior de $E$ ( $\bigwedge^k E$ , esta es la familia $(e_I)_I$ $I\subset\{1,...,n\}$ es de cardinalidad $k$) y para cada potencia exterior de $F$ ( $\bigwedge^k F$ , esta es la familia $(e_J)_J\cup(e_I\wedge l)$ $I,J\subset\{1,...,n\}$ es de cardinalidad $k-1$ $k$ respectivamente).
Inyectividad : suponga $\sum a_I e_I\otimes l$ está en el kernel. Por diagrama de perseguir, $\sum a_I e_I\wedge l$ es un elemento de $\bigwedge^pE$, pero esto no es posible debido a que $e_I\wedge l$ son linealmente independientes, y no $\bigwedge^p E$, a menos que todas las $a_I$ son cero.
Surjectivity : vamos a $c\in C$ $\sum a_J e_J+\sum b_I e_I\wedge l$ un ascensor en $\bigwedge^p F$ (aquí la suma es sobre todos los $J\subset\{1,...,n\}$ de cardinalidad $p$ y todos los $I\subset\{1,...,n\}$ de cardinalidad $p-1$). Claramente, $\sum b_I e_I\wedge l$ es otro ascensor de $c$. Esto demuestra que $c$ es la imagen de $\sum b_I e_I\otimes l$.
Por lo tanto la vertical del mapa es un isomorfismo y esto concluye la prueba.
Se propuso otro mapa para $\bigwedge^p F\rightarrow \bigwedge^{p-1}E\otimes L$. Veamos si este es de hecho el mismo :
Sólo necesitamos calcular el mapa de la mina y en nuestra anterior base.
Deje $J=\{i_1,....,i_p\}\subset\{1,...,n\}$$i_1<...<i_p$,$e_J=e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_p}$. Con la construcción anterior, este es un elemento de $\bigwedge^p E$ por lo que este elemento es cero en $C\simeq\bigwedge^{p-1}E\otimes L$. Con su definición, esto también es $0$.
Deje $I=\{i_1,....,i_{p-1}\}\subset\{1,...,n\}$$i_1<...<i_{p-1}$. A continuación,$e_I\wedge l=e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_{p-1}}\wedge l$. Con la construcción anterior, esto se asigna a $e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_{p-1}}\otimes l$. Con su construcción, este se asigna a
$$\sum_k (-1)^k e_{i_1}\wedge...\wedge\widehat{e_{i_k}}\wedge...\wedge e_{i_{p-1}}\wedge l\times 0+(-1)^p e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_{p-1}}\otimes l$$
De ahí que su mapa es el mismo que el mío, hasta el $(-1)^p$ signo.
Nota : el lugar de trabajo con la secuencia de $0\rightarrow \bigwedge^p E\rightarrow\bigwedge^p F\rightarrow L\otimes \bigwedge^{p-1}E\rightarrow 0$ eliminar el signo.
Por último, algún tipo de interpretación : $F$$E$$L$. Por lo tanto $\bigwedge^p F$ $\bigwedge^p E$ (claramente un subobjeto) y algo más. Si $F$ divisiones como $F\simeq E\oplus L$, entonces tendríamos descomposición $f_i=e_i+l_i$, de modo que $$f_1\wedge...\wedge f_p=(e_1+l_1)\wedge...\wedge (e_p+l_p)=(e_1\wedge...\wedge e_p)+\sum_k e_1\wedge...\wedge l_k\wedge ...\wedge e_p + 0$$
El cero proviene del hecho de que $L$ es de dimensión$1$, por lo que cada producto $l_i\wedge l_k$ por encima de cero. Ya que se puede cambiar el orden de los términos (con signo), usted puede poner el $l_i$ al final, por lo que cada elemento de a $f_1\wedge...\wedge f_p$ es una suma de un elemento de $\bigwedge^p E$ y un elemento de la forma $e_1\wedge...\wedge e_{p-1}\wedge l$. Resulta que (ya que puede producir una adecuada morfismos) que la parte de $\bigwedge^p F$ hecha por los elementos de la forma $e_1\wedge...\wedge e_{p-1}\wedge l$ es un cociente que es $\bigwedge^{p-1}E\otimes L$.
Más generalmente, si $L$ no es una línea de paquete (escribir $G$), la descomposición, el $\bigwedge^p(E\oplus G)=\bigoplus_{i+j=p}\bigwedge^i E\otimes\bigwedge^j G$ todavía tiene una interpretación si la secuencia de $0\rightarrow E\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow 0$ no dividir. De hecho, el paquete de $\bigwedge^pF$ ahora está dotada con una filtración $F^k\bigwedge^pF$ tal que $F^k\bigwedge^pF$ es la imagen de $E^{\otimes k}\otimes F^{p-k}\rightarrow F^p\rightarrow\bigwedge^p F$ (en otras palabras, $F^k\bigwedge^pF$ es el subconjunto de a $\bigwedge^pF$ cuyos elementos pueden ser escritos con un producto de $k$-elementos de $E$). Ahora, los sucesivos cociente se $F^k/F^{k+1}=\bigwedge^k E\otimes\bigwedge^{p-k} G$.
Usted está en la situación en la que la filtración es de sólo 2 pasos :
$$ 0=F^{p+1}\bigwedge^pF\subset\bigwedge^p E=F^p\bigwedge^p F\subset F^{p-1}\bigwedge^p F=\bigwedge^p F$$
