¿Por qué son los generadores de la rotación en el 4-dimensional espacio Euclidiano corresponden a rotaciones en un plano?

Question

En tres dimensiones, la rotación de los generadores están representados por $J_1$, $J_2$ y $J_3$ donde $1,2,3$ respectivamente significa que el generador de rotación alrededor de $x,y,z$ ejes respectivamente. En general, en la rotación en la dirección $\hat{\textbf{n}}$ es generado por $\textbf{J}\cdot\hat{\textbf{n}}$.

Sin embargo, incluso dimensiones grupos de rotación, tales como $SO(4)$, los generadores están marcados por $J_{ij}$ donde $i,j=1,2,3,4$ que corresponde a las rotaciones en $12$, $23$, $34$, $14$, $24$ y $13$ aviones. Situación Similar sucede en el caso del grupo de Lorentz $SO(3,1)$ en la relatividad especial.

Qué significa que una determinada rotación en 4-dimensional en el espacio Euclidiano no puede ser asociado con un único eje ($\hat{\textbf{n}}$) de la rotación? Si sí, ¿por qué es así?

Answer 1

Qué significa que una determinada rotación en 4-dimensional en el espacio Euclidiano no puede ser asociado con un único eje ($\hat{\textbf{n}}$) de la rotación? Si sí, ¿por qué es así?

Sí, esto es absolutamente cierto. La noción de las dimensiones del eje es un "accidente" de tres dimensiones. Las rotaciones de transformar plano (dimensión 2) lineal subespacios del espacio Euclidiano y así que uno necesita para especificar la transformada plano y el ángulo de rotación para especificar la rotación.

En 3D dimensiones podemos un poco de trampa: un avión está definida de forma única por una unidad de vector normal, y el ángulo de rotación puede ser codificado como la longitud de este vector. Esto es lo que entendemos por un eje. El eje es el sin transformar el espacio de la rotación; el espacio 3D se divide en dos ortogonales, invariante espacios, siendo el primero el plano de rotación, que es invariante, pero transformada (es decir, trivial bijectively asignan a sí mismo) y el último, el eje, el cual es invariante y no transformadas. En 4 dimensiones superiores, el invariante espacios son de 2 o más dimensiones.

Un miembro de la Mentira álgebra de una rotación de grupo (con el álgebra escrito como una fiel representación de la matriz) es un sesgo de simetría de la matriz, es decir, una entidad de la forma $\sum\limits_i X_i \wedge Y_i$ cuando la $X_i$ $Y_i$ son 1D vectores en el espacio Euclidiano. Un general de la matriz de rotación es entonces de la forma $\exp\left(\sum\limits_i X_i \wedge Y_i\right)$. Las cosas se ponen un poco complicadas en 4 y dimensiones superiores; el más general de lo que uno puede decir es que en general una adecuada transformación ortogonal en $N$ espacio tridimensional se puede descomponer como $R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$ donde cada una de las $R_i$ es una rotación que bijectively transforma un avión en sí mismo y sale del plano del complemento invariante. Sin embargo, los planos para cada una de las $R_i$ no son en general el mismo plano.

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Más Preguntas y Útiles Propiedades de Rotación

El usuario John Dvorak, señala:

Yo creo que el $R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$ siempre sería pares ortogonal. Es que no es el caso?

Este hecho es absolutamente cierto, y vale la pena esbozar las pruebas para obtener más información sobre una de las dimensiones superiores de la rotación.

Deje que nuestro matriz de rotación ser $R=\exp(H)$ $H=\sum\limits_i X_i \wedge Y_i\in \mathfrak{so}(N)$ anterior. Luego existe otra transformación ortogonal $\tilde{R}$ (es decir, $\tilde{R}\in \mathrm{SO}(N)$) que, a través de la similitud de transformación, reduce la distorsión simétrica $H\in \mathfrak{so}(N)$ a un bloque diagonal de la forma:

$$H = \tilde{R}\,\mathrm{diag}(\Lambda_1,\,\Lambda_2,\,\cdots)\,\tilde{R}^T=\tilde{R}\,\mathrm{diag}(\Lambda_1,\,\Lambda_2,\,\cdots)\,\tilde{R}^{-1}$$

donde cada uno de los bloques es de la forma:

$$\Lambda_j=\left(\begin{array}{cc}0&-\theta_j\\\theta_j&0\end{array}\right)$$

con $\theta_j\in\mathbb{R}$ un ángulo de rotación y que, si $N$ es impar, también hay un $1\times1$ cero bloque de la izquierda.

Por lo tanto, si ponemos:

$$H_j = \tilde{R}\,\mathrm{diag}(0,\,0,\,\cdots,\,\Lambda_j,\cdots)\,\tilde{R}^T$$

a continuación, $R_j=\exp(H_j)$ $R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$ son fácilmente visto hacer hasta la descomposición con las propiedades que Juan reclamaciones, a saber:

1. El $R_j$ son cada una de las rotaciones, cada uno de los cuales se transforma un único plano y cada uno también tiene una dimensión $N-2$ invariante y no transformadas espacio (el análogo de la "eje");
2. Los aviones transformados por la $R_j$ son mutuamente ortogonales y, de hecho, los aviones generado por los vectores unitarios $\tilde{R}_j\,\hat{e}_{2\,j}$$\tilde{R}_j\,\hat{e}_{2\,j+1}$, donde el $\hat{e}_j$ son ortonormales base en la que todos los operadores analizados se han matrices como está escrito más arriba;
3. (como consecuencia de 2). el $R_j$ son mutuamente los desplazamientos.

Así, podemos ver fácilmente que:

1. Si la dimensión $N$ es impar, hay siempre una dimensión de 1 invariantes, sin transformar el espacio, correspondiente a la 1D cero bloque citado anteriormente, para el invariante espacios que se describen a continuación;
2. Si la dimensión es, incluso, un trivial adecuada transformación ortogonal del sin transformar el espacio puede ser cualquiera de las dimensiones de la $0,\,2,\,4,\,\cdots N-2$. El invariantes en espacios de dimensiones $0,\,2,\,4,\,\cdots,\,N$

Esta descomposición es acerca de una determinada rotación del operador y es que no debe confundirse con la noción Canónica de las coordenadas de la Segunda Clase (véase el Capítulo 1, la Proposición 3.3 de V. V. Gorbatsevich, E. B. Vinberg, "Mentira Grupos y Álgebras de Lie I: Fundamentos de la Teoría de la Mentira y la Mentira de Transformación de los Grupos", Springer, 2013), que son una generalización de la noción de los Ángulos de Euler. Aquí, un conjunto de $H_j\in\mathfrak{so}(N)$ $j=1,\,\cdots,\,N$ (nota, ahora hay $N$ de ellos, no $N\,\mathrm{div}\,2$ de ellos) es elegido como base, es decir, para abarcar $\mathfrak{so}(N)$. Los siguientes son verdaderas:

1. El conjunto $\mathbf{G}=\left\{\left.\prod\limits_{j=1}^N\,\exp(\theta_j\,H_j)\,\right|\,\theta_j\in\mathbb{R}\right\}$ contiene un barrio de la identidad en $\mathrm{SO}(N)$;
2. Si, además, el $H_j$ son ortogonales con respecto a la Matanza de forma $\langle X,\,Y\rangle=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}(X)\,\mathrm{ad}(Y))$, entonces el conjunto $\mathbf{G}$ arriba es el conjunto de $\mathrm{SO}(N)$.

Propiedad 1, como se muestra en la Gorbatsevich & Vinberg referencia citada, es un general y fundamental de la propiedad de toda la Mentira de los grupos (si reemplazamos $\mathfrak{so}(N)$ por el grupo de la Mentira del álgebra y $\mathrm{SO}(N)$ por el grupo); la propiedad tiene 2 compacto semisimple solamente.

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Si la similitud de transformación que tengo aquí sacó de la nada parece misterioso, los lectores pueden estar más familiarizados con el de una re-ordenada versión de la similitud de transformación de $\tilde{R}$ por encima de donde se descompone un sesgo de simetría, cerrado 2-formulario de $\omega$ en una dimensión, de modo que su matriz $\Omega$ es:

$$\Omega = \tilde{R}\; \left(\begin{array}{cc}0&-\mathrm{id}_{\frac{N}{2}}\\\mathrm{id}_{\frac{N}{2}}&0\end{array}\right)\;\tilde{R}^T$$

que nos implícitamente siempre que la etiqueta de un simpléctica espacio (en general no único) "canónica de coordenadas" para que $\omega$ a continuación, tiene la matriz:

$$\Omega = \left(\begin{array}{cc}0&-\mathrm{id}_{\frac{N}{2}}\\\mathrm{id}_{\frac{N}{2}}&0\end{array}\right)$$

Aquí tenemos un uso diferente de la palabra "canónica", esta vez como se utiliza en Hamiltoniana de la mecánica. La palabra "canónica" bien y verdaderamente necesita un pensionado de jubilación ya que ha trabajado tan duro en la Física!

Answer 2

Es simplemente porque 3-2 = 1 sino 4 - 2 = 2. Una rotación consiste en el intercambio de dos ejes. Dado que se trata de dos dimensiones, que se produce en un plano, y hay n-2 dimensiones de la izquierda. En un espacio tridimensional, no hay suficientes dimensiones para hacer una rotación (a menos que considere la posibilidad de dar la vuelta al espacio de una rotación). En el espacio de dos dimensiones, todas las dimensiones están involucrados en una rotación (aunque el origen es un punto fijo). En el espacio tridimensional, hay una dimensión más, y esta dimensión puede ser tratada como un eje, y podemos representar rotaciones en el espacio tridimensional con tres dimensiones de los vectores. Mientras que el signo es arbitrario (regla de la mano derecha es una convención, no una propiedad inherente espacio tridimensional), la línea a lo largo de la cual el vector mentira no es. En cuatro dimensiones del espacio, hay dos dimensiones de la izquierda, así que los puntos fijos de una rotación es un avión, y la elección de una dirección para representar la rotación sería arbitraria. (Que podría representar una rotación entre los índices i,i+1 con un vector en la dirección de i+2, pero que requieren de un arbitrario orden de las dimensiones. También tenga en cuenta que si tenemos un sistema de rotación entre no consecutivos índices, tales como 1 y 3, que puede estar compuesta de rotación entre consecutivos índices, en este caso 1,2 y 2,3.)