Este problema es de rumano G. M. y aunque es muy corto, es también (creo) muy duro. Deje $x, y, z$ real no negativo números de tal manera que $x+y+z=3$. Demostrar que
$$27 \leq (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) \leq 44 $$
No tuve éxito en cualquiera de las desigualdades, sólo he logrado encontrar la igualdad de los casos ($x=y=z=1$ para el primero y uno de ellos $3$ y los otros $0$). Cualquier sugerencia/idea/solución es bienvenida.
Para la prueba de la izquierda de la desigualdad es suficiente para probar que $$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)\geq3(x+y+z)^2,$$ lo cual es cierto incluso para todos los reales $x$, $y$ y $z$.
La prueba de ver aquí: Concurso de la Desigualdad - Es que SOY GM?
Para la prueba del derecho de la desigualdad es suficiente para probar que $$44(x+y+z)^6\geq(2(x+y+z)^2+9x^2)(2(x+y+z)^2+9y^2)(2(x+y+z)^2+9z^2),$$ que es $$\sum_{sym}\left(4x^5y+7x^4y^2+3x^3y^3+18x^4yz+70x^3y^2z+\frac{51}{4}x^2y^2z^2\right)\geq0,$$ lo que es obvio.
Pruebe el siguiente método. Usted está buscando los extremos de la función $f\left(x,y,z\right)=\left(x^{2}+2\right)\left(y^{2}+2\right)\left(z^{2}+2\right)$ en virtud de la restricción $g\left(x,y,z\right)=x+y+z-3=0$. Poner $D=\left\{ \left(x,y,z\right)\in\left(\mathbb{R}_{+}\right)^{3}:x+y+z-3=0\right\} $.
Usted puede cuidar de los extremos de $f$ en el interior de $D$ por la búsqueda de los puntos de $a\in\overset{\circ}{D}$ para que los gradientes de $f$ $g$ son colinear (Lagrange). A continuación, cuidar de los extremos de $f$ sobre el límite de $D$, que se obtiene por dejando una de las variables $x,y$ o $z$ igual a $0$.
A continuación, calcular $f$, en todos estos puntos para detectar sus mínimos y máximos.
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