Demostrando Lema 4 en Georgi la Mentira del Álgebra en la Física de Partículas 2º p 251

Question

El lema 4 se da en la imagen de arriba. Mi pregunta es, cómo comprobar la dependencia lineal (20.15) para el diagrama (a)? Traté de ampliar la matriz para la raíz simple en wikipedia $$ \left [\begin{matrix} 1&-1&0&0&0&0 \\ 0&1&-1&0&0&0 \\ 0&0&1&-1&0&0 \\ 0&0&0&1&1&0 \\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\\ 0&0&0&1&-1&0 \\ \end{de la matriz}\right ] $$

mediante la adición de 7 en la parte superior de 6 como

$$ \left [\begin{matrix} 1&-1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&-1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&-1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&1&0&0 \\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}&0\\ 0&0&0&1&-1&0&0 \\ x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6&x_7 \end{de la matriz}\right ] $$

desde el ángulo entre los vectores 1 y 7, 4 y 7 son ambos cero. Por lo tanto,$x_1=x_2=0$. Desde el 2 y 7 son ortogonales. $x_3=0$. Desde el 3 y 7 son ortogonales. $x_4=0$. Desde el 4 y 7 son ortogonales. $x_5=0$. Desde el 5 y 7 son ortogonales. $x_6=0$. Los vectores 6 y 7 tienen que ser ortogonales, que se contradicen con Dykin diagrama.

Mi construcción de la matriz de simple raíces parece ser incorrecto. Cómo comprobar la dependencia lineal correctamente?

Answer 1

Sigue a continuación la prueba de que Howard Georgi parece tener en mente. Que nos llame a la raíz del vector(s) en el diagrama de Dynkin $(a)$ correspondiente a

1. el single $3$-vértice para $\vec{\gamma}$,

2. el tres $2$-vértices para $\vec{\beta}_1$, $\vec{\beta}_2$, $\vec{\beta}_3$,

3. y el tres $1$-vértices para $\vec{\alpha}_1$, $\vec{\alpha}_2$, $\vec{\alpha}_3$.

Ya que todos están conectados a través de líneas simples, a las siete de la raíz vectores tienen la misma longitud, digamos, $\gamma$. Por otra parte, los pares de ángulos $\theta$ están dadas por

$$\cos(\theta)~=~\left\{\begin{array}{rl}-\frac{1}{2}&\text{if a connecting line,} \\ \\ 0 &\text{if no connecting line.} \end{array}\right. $$

Así, podemos calcular

$$\left( 3\vec{\gamma}+2 \sum_{i=1}^3\vec{\beta}_i +\sum_{i=1}^3\vec{\alpha}_i \right)^2$$ $$~=~9 \vec{\gamma}^2+4 \sum_{i=1}^3\vec{\beta}_i^2 +\sum_{i=1}^3\vec{\alpha}_i^2 +12 \vec{\gamma}\cdot\sum_{i=1}^3\vec{\beta}_i + 4\sum_{i=1}^3\vec{\beta}_i\cdot \vec{\alpha}_i$$ $$~=~\gamma^2\left(9+4\cdot 3+3+ 12\cdot3\cdot(-\frac{1}{2})+ 4\cdot3\cdot(-\frac{1}{2}) \right)~=~0.$$

De ahí las siete de la raíz-vectores son linealmente dependientes, de modo que el diagrama de Dynkin $(a)$ no puede representar a un (finito-dimensional, complejo) simple Mentira álgebra.