Cómo probar $f(x)=ax$ si $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y $f$ es localmente integrable

Question

Supongamos que $f$ es integrable en cualquier intervalo acotado en $\mathbb R$ y satisface la ecuación $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todos $x,y\in\mathbb R$ . Cómo demostrar que existe una constante $a\in\mathbb R$ tal que $f(x)=ax$ para todos $x\in\mathbb R$ ?

Answer 1

Integrar la ecuación funcional con respecto a $x$ entre $0$ y $1$ . El resultado es la ecuación $$ \int_y^{y+1} f(u) du = \int_0^1 f(x) dx + f(y) \text . $$ La integral del lado izquierdo existe y es continua en $y$ porque $f$ es localmente integrable. Por lo tanto, el lado derecho también es continuo en $y$ eso es, $f$ ¡es continuo! El resto es una navegación clara.

Answer 2

$ \def \R {\mathbb R} \def \d {\ \mathrm d} $ Definir $ g : \R \to \R $ con $$ g ( x ) = \int _ 0 ^ x f ( t ) \, \d t $$ para todos $ x \in \R $ que se puede hacer, ya que $ f $ es localmente integrable. Para cualquier $ x , y \in \R $ es fácil ver que $$ g ( x + y ) = \int _ 0 ^ { x + y } f ( t ) \d t = \int _ 0 ^ x f ( t ) \d t + \int _ x ^ { x + y } f ( t ) \d t = g ( x ) + \int _ 0 ^ y f ( x + t ) \d t \\ = g ( x ) + \int _ 0 ^ y \big( f ( x ) + f ( t ) \big) \d t = g ( x ) + \int _ 0 ^ y f ( t ) \d t + \int _ 0 ^ y f ( x ) \d t = g ( x ) + g ( y ) + y f ( x ) \text . $$ Así, $$ y f ( x ) = g ( x + y ) - g ( x ) - g ( y ) = g ( y + x ) - g ( y ) - g ( x ) = x f ( y ) $$ para todos $ x , y \in \R $ . Dejar $ a = f ( 1 ) $ y poniendo $ y = 1 $ en la última ecuación, tenemos $$ f ( x ) = a x $$ para todos $ x \in \R $ .

Este método tiene la ventaja de ser conciso y al mismo tiempo, sólo se centra en la condición mencionada en el problema, sin reducir el problema a otro caso cuando tenemos condiciones adicionales (como la continuidad) en $ f $ . El método utilizado aquí y el de este puesto son esencialmente las mismas, cuando se miran a través de la lente del teorema fundamental del cálculo. Aquí, utilizamos la integración, y evitamos la diferenciación que es la herramienta principal allí.

Answer 3

Esto se conoce como Ecuación funcional de Cauchy . Es fácil ver que $f(0)=0$ , como $f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0)$ para todos $x$ . Si dejamos que $a=f(1)$ , obtenemos que $f(n)=f(\underbrace{1+1+\dots+1}_{n\text{ times}})=an$ para cualquier $n\in\mathbb Z$ por inducción, y de forma similar vemos que $$bf\left(\frac n b\right)=\underbrace{f\left(\frac n b\right)+\dots+f\left(\frac n b\right)}_{b\text{ times}}=f\Big(\underbrace{\frac n b+\dots+\frac n b}_{b\text{ times}}\Big)=f(n)=an$$ así que $f(x)=ax$ para cualquier racional $x$ . Para ampliar esto a todos los reales $x$ bajo sus restricciones, le sugiero que busque otras soluciones que no sean $ax$ y examinar cómo se diferencian cerca de $0$ entonces observe que estas soluciones también se escalan por adición y por lo tanto estallan para ser muy diferentes de $ax$ lejos del origen. Te dejaré resolver esta parte por tu cuenta.