$f(x)$ $h(x)$ son absolutamente funciones continuas. Es $e^{f(x)} |h(x)|$ así?

Question

Dado que las funciones de $f(x)$ $h(x)$ son absolutamente continuas en $[0,1]$, quiero mostrar que la $e^{f(x)} |h(x)|$ es absolutamente continua así.

Sé que (1) el producto de dos absolutamente continua la función en $[0,1]$ es absolutamente continua. (2) la composición de un Lipschitz función continua y absolutamente una función continua es absolutamente continua. Por lo $|h|$ es absolutamente continua,

Pero la función exponencial $e^x$ no es Lipschitz, por lo que no es absolutamente continua.

¿Cuál es la clave para resolver el problema aquí?

Answer 1

$e^x$ no es Lipschitz en $\mathbb{R}$, pero es Lipschitz en cualquier intervalo acotado (con una constante de Lipschitz que depende del intervalo). Desde $f$ es continua en a $[0,1]$ es limitado (supongo que usted lo sabe); digamos que $|f(x)|\le M$ todos los $x\in[0,1]$. La función exponencial es Lipschitz continua en $[-M,M]$, por lo que el $e^{f(x)}$ es absolutamente continua en $[0,1]$.

Olvídate de la línea siguiente. Yo estaba pensando en uniforme de continuidad, no absoluta continuidad.

Una forma alternativa: cada función continua en un almacén de intervalo cerrado es absolutamente uniformemente continua.