Muestra que $\bigcup \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup A_\alpha}$

Question

¿Alguien puede verificar mi demostración? Estoy al tanto de que hay una pregunta similar en otro lugar, pero necesito ayuda con mi demostración en particular.

Demuestra que $$\bigcup \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup A_\alpha}$$ Da un ejemplo donde la igualdad no se cumple.

Sea $x \in \bigcup \overline{A_\alpha}$. Entonces, $x \in \overline{A_\alpha}$ para algún índice $\alpha$. Esto implica que todo vecindario abierto de $x$ interseca a $A_\alpha$. Pero entonces, todo vecindario abierto de $x$ interseca a $\bigcup A_\alpha$. Por lo tanto, $x \in \overline{\bigcup A_\alpha}$.

Para mostrar que la igualdad no se cumple, sea $A_k = \left(-1+\frac{1}{2n}, 1-\frac{1}{2n} \right)$. Entonces, es claro que $$\bigcup_{k=1}^\infty \overline{A_k} = (-1, 1)$$ y $$\overline{\bigcup_{k=1}^\infty {A_\alpha}} = [-1, 1]$$

Answer 1

Otro intento de un contraejemplo: dado que los racionales son numerables, podemos enumerarlos como $q_1, q_2 \ldots$. Tomemos $A_k=\lbrace q_k \rbrace \subset \mathbb{R}$. Entonces cada $A_k$ es cerrado ya que su complemento es abierto. Por lo tanto $\overline{A_k}=A_k$. Por lo tanto $$\bigcup \overline{A_k}=\bigcup A_k=\mathbb{Q}$$ pero $$\overline {\bigcup A_k}=\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$$

Answer 2

Sea $x \in \bigcup_\alpha {\overline A_\alpha}$. Entonces, para algún $\alpha$, $x \in {\overline A_\alpha}$. Un pequeño ajuste. De lo contrario, todo claro.